Transcription of Quaestio de jure
Quaestio de jure negligendi quantitates infinite parvas comparatione ordinariarum vel ordinarias respectu infinitarum; et quascunque infinitesimas respectu earum quae ipsis sunt infinituplae multas nuper in Academia Scientiarum Regia concertationes peperit, quae res fecit ut mea quoque sententia qualiscunque exquireretur. Ea vero huc redit; dandam operam esse, ut Mathesis pura a controversiis Methaphysicis illibata conservetur. Hoc nos facturos si parum curantes an realia sint infinita et inifinite parva in quantitatibus, numeris, lineis; utamur infinitis et infinite parvis, tanquam expressione apta ad cogitationes contrahendas. Ita licet imaginariae essent. Eae quantitates tamen possent adhiberi ut radices imaginariae in Algebra.
Hinc sequitur nunquam hoc compendio esse utendum nisi cum substituta explicatione, res redit ad demonstrationem rigorosam more Euclideo vel Archimedeo. Idque ad eum modum quem dedi in Actis Eruditorum, cum Lemmata Incomparabilium explicarem. Nam dici potest ita se habere varios gradus infinitorum aut infinite parvorum, ut si concipiam distantiam stellarum fixarum esse incomparabiliter majorem Diametro globi terrae, et globum hunc Grano arenae; et granum arenae corpusculo lucis, ita ut unum comparatione alterius pro puncto habeatur. Etsi nulla talis in nostra Methodo quantitas definita adhibeatur sed tam parva quam quis volet. Cum ergo ostendi potest in Geometricis affirmationibus errorem esse quovis assignabili minorem, id est nullum; dicimus per compendium errorem seu discrimen esse infinite parvum, et tanquam quantitatem adhibemus in calculo negligimusque comparatione ejus cujus respectu est discrimen. Quoniam statim ratiocinatio fit rigorosa, commutando indefinite parvum, in parvum definite, sed assignata quantitate minus quod nullum admitti posse demonstratio ostendit ita ut res quodammodo redeat ad illud singulare demonstrandi genus cujus exempla passim extant ubi ex assumta inaequalitate duarum quantitatum directe concludimus earum aequalitatem.
Atque hoc est principium calculi differentialis, cum discrimina vel differentias assumimus incomparabiliter minores ipsis differentibus, et varioshic gradus agnoscimus, constituentes quandam novi generis legem homogeneorum.
Et prosunt hae quantitates indefinitae, etiam ad universales propositiones in ipsis definitis. Ex. gr. theoremata de rectis convergentibus verificantur in parallelis tanquam specie convergentium, ubi punctum concursus abest infinite. Sic omnia quae demonstrantur de Ellipsibus, verificantur certo modo et in parabola, si concipiatur parabola ut Ellipsis cujus alter focus infinite absit.
Hinc oritur Lex illa Continuitatis, cujus magnum etiam in physicis usum ostendi in pristinis rei literariae Novellis. Concipiendo aequale, ut inaequale evanescens, et quietem ut motum infinite parvum; aliaque id genus. Ubi uti datorum unum in alterum evanescit, ut motus in quietem; ita et regula pro motu eodem casu evanescere debet in regulam pro quiete. Alioqui regulae sunt incohaerentes.
Itaque admirando naturae artificio ubique fit, ut omnia itaque procedant in ratiocinando tanquam haec quantitates essent quam maxime reales; Neque aliter rerum ordo et connexio sibi constaret.
Quod attinet ad nonnullas difficultates ex seriebus infinitis, dico non proprie opponi nihilum infinito, sed nihilum omni at infinito opponi infinite parvum. Itaque \frac{1}{0} = infinito, non est vera propositio, nisi 0 significet numerum infinite parvum, qui scilicet tanquam ipsi 0 succedaneus abjici potest, per rationes supra dictas ut si dicerem \frac{aa}{dx} = f tunc a quantitas ordinaria esset media proportionalis inter infinitam f et infinite parvam dx.
Hinc non est putandum bis 0 esse aliud quam 0. uti quosdam ingeniosissimos viros statuere accepi, dum scilicet infinite parvum cum nihilo quodam modo confundunt.
Cum series infinitae divisione vel Extractione aut aliis modis investigantur, vis veritatis in eo consistit, ut ostendatur discrimen esse minus quavis quantitate. Nempe si quis dicet discrimen esse inter circulum, et hanc quantitatem ejus a me inventam 1 -\frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19-\frac{1}{11} etc. (posito quadrato diametri 1): ostendam id discrimen esse nullum, seu minus eo quod quis potest assignare. Quia in hac serie ubicunque sistas progrediendo, error semper minor est proxime sequente fractione, ea vero si satis progrediare minor est data quavis quantitate.
Haec causa est cur continuata divisio non det seriem fractioni aequalem, nisi termini decrescant, nam ut error dato minor ostendi possit, opus est seriem decrescere et quidem sufficienter.
Sic in fractione \frac{a}{b + c} si dividas a per b+c prodit
ʄ \frac{a}{b} - \frac{ac}{bb} + \frac{acc}{b^3} - \frac{ac^3:b^3}{b + c} (ʄ [facit])
ita ut sistere liceat ubivis, tantum ipsi ultimo residuo hoc loco - ac^3 : b^3 subscribendo divisorem b + c, ut fiat fractio \frac{- ac^3 : b^3}{b + c}, quae adjuncta seriei faciet eam aequalem ipsi fractioni datae \frac{a}{b + c}.
Itaque si sit \frac{a}{b + c} = \frac{4}{3 + 1} = \frac{4}{4} = 1 prodibit \frac43 - \frac49 + \frac{4}{27} - \frac{4 :27}{3 + 1} id est \frac43 - \frac49 + \frac{4}{27} - \frac{1}{27} = \frac43 - \frac49 + \frac{3}{27} = \frac43 - \frac49 + \frac19 = \frac43 - \frac39 = \frac43 - \frac13 = 1.
Et utcunque continues seriem, prodibit \frac43 - \frac49 + \frac{4}{27} - \frac{4}{81} etc. usque ad \pm (+ vel -) \frac{4}{3 + 1} \frac{1}{3^e} quae cum possit esse minor quavis data. Sed si sit \frac{4}{1 + 1}, semper ubi desines remanebit (+ vel -) \frac{4}{1 + 1} \frac{1}{1^e} sed \frac{1}{1^e} = 1 ergo semper remanet \frac{4}{2} quae non decrescit nec fit tandem minor quavis data.
Quod ergo attinet ad talem seriem \frac{2}{2 - 2} = 1 + 1 + 1 + 1 etc.= \frac20 vel talem \frac{2}{1 - 1} = 2 + 2 + 2 + 2 etc = \frac20. quae deberent esse inter se aequales cum tamen una sit alterius dupla; dicendum est nullam esse hic aequalitatem inter seriem infinitam et fractionem. Dicendum etiam est, absolute nihilum, non dividere omnino, nec multiplicare, nisi ut prorsus tollat. Ipsam [scil. ipsum] autem \frac10, posito 0 pro perfecte infinito [scil. nihilo], esse debere absolute seu infinitam cujus nulla est extensio sive quantitas. Ipsum verum infinitum absolute, nempe Deus quantitate calculabili, nempe partibus caret et τò omnia, quod partes haberet revera non est unum totum, seu non potest constituere quantitatem quae multiplicando vel dividendo mutetur.
Eoque modo respondendum esset ei, qui 0 assumens, ut quantitatem, et utens axiomatis istis duobus receptis, (primo) aequalia uni tertio esse aequalia inter se et (2do) aequalia multiplicata vel divisa per eandem quantitatem manent aequalia sine ullo ad nostrum calculum infinitesimalem respectu, sic argumentaretur 1,0 = 0 = 2 - 2 = 2, 1 - 1 = 2,0. Ergo 1,0 = 2,0 ergo 1 = 2.quod est absurdum.
Respondendum est 0 verum seu absolute sumtum tali calculo non subesse, seu si quid multiplicetur per 0, id producto rursus per 0 diviso non restitui, cum quaelibet per 0 multiplicatae dent idem, nempe nihil.
At instabis saltem posse ostendi \frac10 = \frac20 seu aliquod esse duplum sui ipsius. Nam \frac10 = \frac{1}{1 - 1} = \frac{2}{2 - 2} = \frac20. Respondendum est \frac10 tali calculo non subesse, seu \frac10 non duplicari multiplicando per 2, unde non licet dicere bis \frac10 nisi eo modo quo bis dicimus idem nihil id <eo?> adjicientes ut si eandem veritatem repetamus, cum \frac10 significet oppositum τῷ nihilo, seu omnia nempe Numerum omnium unitatum. Et si quid multiplicet omnia, non prodire novum, cum omnia augeri non possint. Uti si quis dividat nihil per aliquem numerum seu in partes duas, tres, etc. non prodeat novum, quia nihil minui non potest. Vicissim uti nihil non potest duplicari itanon potest assumi dimidium numeri omnium, seu numeri omnium unitatum ex quibus intelligitur nihil et omnia multiplicando aut dividendo non mutari. Sed secus esse de infinitis et infinite parvis suppositis, quibus utimur in calculando; id est tam parvis aut tam magnis quam opus est, ut error ostendatur minor dato.