Transcription of Duae rectae parallelae sunt (Partial transcription)
Duae rectae parallelae sunt, quae productae, si opus, ubique eodem modo se habent.
Tales si sint, ubi sis in illis, ex ipsis discerni nequit.
Sint rectae AE et LR et in illa feratur spectator X, in hac spectator Y, ambo motu aequati uniformi, feranturque ita ut situs 1X1Y, et situs tam spectatorum inter se, quam, quoad rectas indefinitas, rectas in quibus ferantur discerni non possit.
Sint adeo omnia non tantum similia semper, sed et aequalia, ut adeò congruentia rectae erunt parallelae oportet autem relationem non institui ad aliquod punctum fixum, ut A vel L, alioqui unus utique situs ab alio discerni posset per accessum vel regressum respectu puncti fixi. Itaque si 1X2X=1Y2Y erit 1X.1Y.X̅.Ȳ≃2X.2Y.X̅.Ȳ.
[…]
[A long session is crossed out]
Axioma: Si similiter determinantia sunt similia, congrua, coincidentia, etiam talia erunt determinata, et vice versa.
Si ab duabus parallelis AB, LM, abscindatur rectae aequales 1X2X, 1Y2Y, in easdem partes, et duobus rectis 1X1Y, 2X2Y jungantur initium initio, finis fini, erunt cunctae rectae inter se aequales. Nam ob 1X.1Y.X̅.Ȳ≃2X.2Y.X̅.Ȳ est 1X.1Y≃2X.2Y, adeoque 1X1Y=2X2Y.
Anguli respondentes quas eaedem rectae jungentes faciunt ad parallelas sunt iidem. Nam si 1X1Y alium faceret angulum ad X̅, quam 2X2Y, etiam (ob axioma) 1X.1Y (quae duo puncta determinant rectam 1X1Y) aliter se haberent ad X̅, quam 2X.2Y, quod est contra theorema superius, ubi erat 1X.1Y.X̅≃2X.2Y.X̅.
Rectae per 1X, 1Y et per 2X, 2Y sunt parallelae, nam eodem modo se habent inter se ut rectae per 1X, 2X, et per 1Y, 2Y, seu quadrilaterum habens latera opposita aequalia, habet parallela, vel est parallelogrammum.
Parallelae sunt in eodem plano. Nam iisdem positis, idem est planum 1Y1X.X̅ et planum 2Y2X.X̅ alioqui situs prior à posteriore distingui posset. Itaque 1Y1X et 2Y2X (parallelae) sunt in eodem plano cum recta X̅. Eodem modo ostendetur 1Y1X et 2Y2X esse in eodem plano cum recta Ȳ, ergo rectae X̅ et Ȳ sunt in eodem plano.
Aliter. Si data sit recta, et extra eam punctum, datum erit planum commune rectae et puncto. Id punctum erit in uno duorum plani segmentorum quae recta facit. Itaque recta parallela per punctum in eodem plano erit, quia quodvis erit punctum ad rectam est, ut unum punctum.
Parallela rectae datae per datum punctum unica est. Quia dato uno puncto ex situ ad quaedam rectae puncta, et segmento plani, datur et aliud ex aliis rectae punctis eodem inter se modo sitis. Datis autem duobus punctis datur recta. Hoc in calculo exprimetur: sit recta data Ȳ, punctum datum C, et sit C.Ȳ≃X.Ȳ erit X̅ altera recta priori parallela per C.