See original manuscript

Transcription of Specimen Analyseos Figuratae in Elementis Geometriae (1683)

            Prop. 1.

            Def. 1: Circumf. centr. interr. lib. 1, pr.1, art. 4.

            Def. 2: Occursus, art 8.

            Postul. 1: Dato centro et intervallum circulum describere.

            Postul. 2: Datis occurrentibus habetur occursus, art. 9.

            Def. 3: Intra circulum esse, art. 16.

            Def. 4: Extra circ. esse, art. 21.

            Axiom. 1: Totum maius parte, art. 21.

            Ax. 2: Continuum quod intra et extra figuram est eius circumferentiae occurrit, art. 24.

            Postul. 3: Recta produci potest ex uno termino ad distantiam quantamvis, art. 17, 26.

            Def. 5: Recta est via brevissima inter extrema, art. 32, sive distantia duorum punctorum.

            Ax. 3: Omnes partes nullam partem communem habentes aequantur Toti, art. 34.

            Ax. 4: Quod movetur non est simul in pluribus locis, art. 38.

            Prop. 2.

            Def. 6: Si A sit aequale parti ipsius B, A minus, dicetur B majus, lib. 1, pr. 3, art. 6.

            Def. 7: Anguli rectilinei aequales dicuntur si congrui sunt, prop. 4, art. 3.

            Ax. 5: Datis punctis ad quae anguli figurae consistunt figura data est, art. 9.

            Ax. 6: Quae eodem modo ex datis congruis (determinate) dantur, congrua sunt, art. 11.

            Analysin figuratam voco, quae modum praestat literis puncta significantibus repraesentandi figuras, et inveniendi atque demonstrandi earum effectus et proprietates, ita ut non tantum magnitudines, ut in Calculo Algebraico, sed situs ipsi per novum hoc Calculi genus, directe exhibeantur. Specimen autem huius artificii edemus in Elementis Euclidis, et inter procedendum assumemus Lmemmata, Axiomata, Definitiones aliasque propositiones, quibus indigebimus.

            Quicquid autem in Decem prioribus libris Euclidis exponitur, hoc intelligendum est in uno esse plano. Ne id perpetuo admoneri opus sit.

Ad Lib. 1 Elem.

            Prop. 1: Super data recta linea terminata AB. triangulum eaequilaterum ABC construere.

            (1) AC = AB ex hypothesi.

            (2) BC = BH ex hyp. Et quod his satisfacit est C.

            (3) Sit AM = AB.

            (4) Fiat (per postulat. 1) M circumferentia circuli centro A intervallo AB (per definitionem 1).

            (5) Sit BR = BA.

            (6) Fiat R circumf. circuli centro B intervallo BA (ut ad 4).

            (7) Jam quoddam R est M (per Lemma 1 sequens),

            (8) Seu R et M sibi occurrunt (ex. 7 per defin. 2).

            (9) Datis lineis M et R (per 4 et 6) sibi occurrentibus (per 7, 8) habetur eorum occursus (intersectio) occursus (per postulatum 2) nempe R quod est M.

            (10) Id vero est C (per 1 et 3 ac per 2 et 5).

            (11) Habetur ergo C.

            (12) Jam datur AB (ex hyp.).

            (13) Ergo habetur ABC.

            Qu. Er. Fac.

            Lemma 1.

            Si duo circuli MA ex A et RA ex B habeant

mutuo centrum in alterius circumferentia, B in M,

et A in R, eorum circumferentiae M et R sibi occurrent alicubi in C.

            Isdem quae antea positis,

            (14) BA = BA (per se),

            (15) Ergo quodam R est A (per 5).

            (16) Itaque quodd. R est intra circulum A.M (per defin. 3, nam punctum intra circulum esse dicimus cuius distantia a centro est minor radio).

            (17) Producatur AB ex B in D (per postulatum 3).

            (18) Sit BD = BA (per lemma 2 sequens).

            (19) Ergo AD = AB + BD (per lemma 3).

            (20) Ergo AD  AB (totum parte per Axiom. 1).

            (21) Ergo D est extra A.M (per def. 4, nam punctum extra circulum esse dicimus cuius distantia a centro est major radio).

            (22) Jam D est R (per 18 et 5).

            (23) Ergo qu. R est extra A.M.

            (24) Itaque (per 16 et 23) qu. R est in M (per Ax. 2, omne continuum R quod intra et extra figuram A.M est, esse et in eius circumferentia M. Schol.: Unde etsi vi formae ex puris particularibus sequatur, tamen vi materiae in continuis ex 16 et 23 sequitur 24).

            (25) Ergo (ex 24 per def. 2 ad 8) M et R sibi occurrunt.

            Q. E. D.

            Lemma 2.

            Recta AB ex centro B (imo puncto quovis intra Circulum) produci potest ut cirumferentiae circulis R alicubi occurrat in D.

            (26) Produci enim potest ad distantiam quantamvis (per postul. 3 ad 17).

            (27) Ergo ADE sic ut sit BE  BA.

            (28) Ergo (per def. 4 ad 2) recta producta est extra circulum B.R.

            (29) Eadem est in circulo ad eius centrum B (per def. 3 ad 16).

            (30) Ergo (per Ax. 2 ad 23) occurrit eius circumf. alicubi in D.

            Corroll. Lemmatis 2.

            Recta AD transiens per punctum B intra circulum, circulo bis occurrit in A et D. Nam AB producta ex B (recedendo ab A) circumferentiae occurrit alicubi in D, per Lemm. 2. Et DB producta ex B (recedendo a D) circulo occurret alicubi in A.

            Lemma 3.

            Si tria puncta A. B. D. sint in recta distantia duorum quorundam ex ipsis, AB coincidit ipsi AB + BD summae distantiarum tertiae D ab ipsis A. B.

            (31) Tria puncta sunt in recta (ex hyp.)

            (32) Recta AD est via brevissima seu distantia inter extrema A et D (per def. 5).

            (33) Ergo punctum B in recta minus distat ab extremo A, quam extrema A, D inter se.

            (34) Et AB + BD = AD (omnes partes nullam partem communem habentes toti, per ax. 3).

            (35) Est autem AB distantia inter A et B el BD inter B et D (per def. 5 ad 32).

            (36) Super est ut ostendamus tribus punctis in recta existentibus capi posse (?) rectam quae duobus ex illis terminetur tertium vero includat.

            (37) Ponamus enim punctum aliquod rectam cui insunt percurrere.

            (38) Id ipsa attinget successive (per axioma 4).

            (39) Esto ergo A primum, B secundum, D tertium.

            (40) Ergo portio rectae quam percurret inter A et D terminabitur ipsis A et D comprehendet autem B.

            Additamentum 1.

            Si duo circuli A.M, B.R aequalium radiorum habeant radium majorem dimidia distantia centrorum A. B. sibi iccurrent in C extra rectam per centra.

            (41) Recta AB secat R bis in E et D (per corroll. Lemm. 2).

            (42) Et similiter M in F et G.

            (43) Sit E ex B versus A

            (44) et D ex B recedendo ab A.

            (46) AE erit minor AF (adde mox 58)

            (47) Nam quia (ob 43) E cadit inter B et A, vel B inter E et A

            (48) erit (per Lemm. 3) AE differentis inter AB et BE,

            (49) seu inter AB et AF

            (50) quia AF = BE (ex hyp.).

            (51) Jam si AF  AB

            (52) erit AF = AB + AE (per 48, 49).

            (53) Ergo AF  AE.

            (54) Sin AB  AF, erit AB – EF = AE (per 48, 49).

            (55) Jam AF  ½ AB (ex hyp.).

            (56) Ergo ½ AB  AE.

            (57) Ergo AF  AE.

            (58) Utroque ergo modo erit AF  AE, ut asserebatur art. 46.

            (59) Rursus AD est major AF.

            (60) Nam AD = AB + BD (per Lemm. 3)

            (61) = AB + BF (quia BD = BF ex hyp.).

            (62) Ergo quoddam R est intra M nempe E. (quia AF seu AM  AE per 58).

            (63) Quiddam R est extra M nempe D (quia per 59 AD  AM seu AM) (?).

            (64) Ergo (per Ax. 2) qu. R est in M, ut C.

            Additamentum 2.

            Super basi data AB triangulum isosceles construere cui crura AC vel BC sint magnitudinis datae G, quam oportet esse majorem dimidia basi AB.

            (65) Centris A et B.

            (66) Intervallis = G (per prop. 2 independenter ab hac demonstratam).

            (67) Describantur circuli (postul. 1) se secantes alicubi in C. Per additam. 2 (?) erit AC = G et BC = G.

            Quod erat fac.

See original manuscript