Transcription of Leibniz’s notes to Arnauld’s Nouveaux elemens de geometrie (Around 1693) (Partial transcription, partially published in Bopp 1929)
Le livre V des nouveaux Elemens de Geometrie.
Les livres precedens traitoient de la grandeur en generale, ou du nombre indefini. Maintenant commence la geometrie.
Ce qu’on dit de longueur, largeur et profondeur n’explique rien car on n’en a que des idees confuses. De dire que les idees de la droite et de la surface platte sont si simples qu’on ne doit pas leur dessigner une definition n’est pas bien. Car on a de la peine de demonstrer certaines proprietes de la droite et du plan faute de definition.
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On donne cette definition de la droite qu’elle est la plus courte entre deux points. Mais comment prouver par cette definition des proprietés de la droite par exemple qu’il n’y a qu’une d’un point à u autre au lieu que dans la surface spherique il y a plusieurs minimae d’un point à un autre.
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Le sixieme axiome que deux droites qui estant prolongées vers un meme coste s’approchent peu à peu se couperont à la fin n’est point vraye si on ne suppose qu’elles soyent dans un meme plan. Et il paroist d’autant plus que cela à besoin de preuve. La raison est encor dans la similitude de la droite car tout ce qui se diminue uniformement, comme icy la distance, evanouit enfin. Hors du plan elle ne se diminue pas uniformement.
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Sur le livre cinquième des nouveaux Elemens de Geometrie, qui commence à traiter de l’Etendue.
On dit fort bien que l’Estendue est une grandeur continue permanente; mais on se sert incontinent apres des dimensions longeur, largueur et profondeur sans expliquer ce que c’est. J’en ay donné des notions distinctes. L’auetrur ne veut point qu’on definisse le plan et la droite: ce seroit n’en point donner de notion distincte (Et un peu apres il la definit, que c’est la plus courte estendue entre deux points). Il veut aussi qu’on doit commencer par la ligne, mais comme il suppose les lignes dans un même plan, il est manifeste qu’on se sert de la notion du plan ou de la superf.
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Le second Axiome ou Demande (c’est ainsi que parle l’auteur), ayant deux points donnés on peut mener une ligne droite de l’un à l’autre et l’on n’y en peut mener qu’une; laquelle par consequent est l’unique et naturelle mesure de la distance entre ces deux points. J’y remarque premierement qu’Euclide distingue la Demande de l’Axiome, appellant Demande par rapport aux problemes ce qu’il appelle Axiome par rapport aux Theoremes. Mais icy on joint ensemble l’une et l’autre, car de dire qu’on peut mener une droite d’un point à un autre point c’est une Demande, et de dire qu’on n’en peut mener qu’une c’est un Axiome. Il est vray qu’il seroit à souhaiter que cet Axiome fut demontré et mis en Theoreme. Car dans la surface spherique o peut tirer plusieurs lignes egales entre elles, mais plus courtes de toutes les autres d’un pole à l’autre. Ainsi il n’est pas tousjours necessaire que la plus courte soit unique.
Troisieme Axiome ou Demande. La simplicité de la ligne droite fait qu’en ayant une partie on l’a peut prolonger de part et d’autre jusqu’à l’infini, c’est à dire tant que l’on veut. D’ou il s’ensuite, que deux points estant donnés, toute la ligne droite est donnée. Remarque: la prolongation de la ligne droite à l’infini vient de la similitude de la partie avec le tout. Car puisque sa partie est prolongée dans le tout il faut que ce tout soit prolongé de meme dans un tout plus grand.
Quatrieme Axiome: si une ligne est courbée sur l’autre en une de ses parties elle le sera en toutes pourvu que l’une et l’autre soit prolongée autant qu’il faudra. Rem. C’est que deux droites ne sauroient avoir un segmente commun, comme parle l’Euclide.
Cinquieme Axiome. Deux droites ne se peuvent couper qu’en un point. Remarque: cet axiome est deja compris dans le second.
Sixieme Axiome. Deux droites qui estant prolongées vers un même costé s’approchent peu à peu, se couperont à la fin. Remarque: il faut adjouter, qu’elles sont dans un meme plan. La droite AB coupe le plan indefini א en deux parties congruentes ABC et ABD, et la droite LM en deux autres congruentes LNM et LPM. Si toute la droite (L)(M) tomboit dans une section par AB, comme ABC, il est visible que la section (L)P(M) tomberoit toute dans la section ABC, et donc (L)P(M) seroit congruente avec (L)N(M), c’est à dire avec (L)(M)BA+ADB, donc coupant (L)(M)BA, et l’adjoutant à (L)P(M) il ne peut en provenir ACB, congruant à ADB; c’est pourquoy (L)(M) ne peut tomber dans une section, et par consequent il est commune à deux sections, et ainsi les deux droites se coupent.
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Premiere demande sur le cercle, qu’on le puisse decrire ex centro et intervallo datis: pour cela il faut supposer qu’une droite puisse estre mobile dans le plan, une extremité demeurant immobile. Remarque. Cecy meme paroist une consequence de l’uniformité del’espace à l’egard de la sphere, et de l’uniformité du plan à l’egard du cercle. Car un point dans un espace ou dans un plan a le meme rapport de tous costés. Mais il merite d’avantage de prouver que tout etendue excepté la droite, et generalement tout corps est mobile, quoyque deux point en luy soyent immobiles, c’est à dire qu’une droite dans l’espace se rapporte egalement de tous costés par rapport à l’espace, lorsque ce qu’on fait se rapporte egalement à elle.
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Troisieme Axiome. La ligne circulaire est uniforme par tout et par consequent les circonferences d’un intervalle egal sont egales. Remarque. Cela suit non pas de l’uniformité du cercle, mais de la nature de la position. Car le centre et le rayon donnés, le cercle est donné. Donc, lors que le points ne different de position il n’y a point de difference entre les cercles, que dans la position.
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