Transcription of Elemens du calcul
SIGNIFICATIONS
(1) Tout nombre peut estre marqué par une lettre, par un nombre imaginaire, ou par quelque autre caractere qu’on voudra, de ceux dont il y en a beaucoup; pourveu que ce caractere ne soit pas encor déterminé à quelque signification dans le calcul ou ce nombre doit entrer. Ainsi un nombre, connu ou inconnu, déterminé ou indéterminé peut estre marqué par a, b, x, y. A, B, C. ☉. ☽. ♀, même 10. 11, 12, etc. 100, 101, etc. mais ces nombres alors ne signifient que des lettres, et sont employés pour marquer quelqu’un rapport qui est entre les nombres qu’on marque. Et il faut alors les distinguer par quelque marque de leur nombres qu’ils signifient ordinairement
(2) Le nombre a + b est appellé la somme faite par l’addition d’a et b. Si a signifie 3, et b signifie 2, alors a + b signifie 3 + 2, c’est à dire 5
(3) a signifie autant que +a, ou bien le + peut être sous entendu
a + b est autant que +a + b. Et ab est autant que (+a) (+b)
(4) Le nombre a – b est un nombre dont la somme avec b fait a, chercher ce nombre est faire une subtraction, dont il est appellé le Reste, c’est-à-dire ce qui reste lorsque d’a on ôte b.
a estant 3, et b estant 2 ; a – b sera 3 – 2 c’est-à-dire 1, car si à 3 – 2, ou à 1, on adjoute 2, on aura 3
(5) Le Nombre a\capb ou a.b, ou ab est le produit d’une multiplication du nombre a par le nombre b. Ainsi a estant 3 et b estant 2 ; ab sera 3.2 ou bien 3\cap2, ou bien 2+1, \cap2, ou bien 6.
(6) Le nombre a\cupb ou a : b, ou \frac{a}{b}, est un nombre lequel multiplié par b donne a. Chercher ce nombre, c’est faire une division. Ce nombre aussi est appellé le provenant d’une division de a par b, où a est appellé le dividend, et b le diviseur.
Si ce provenant garde cette forme a : b, ou \frac{a}{b}, on l’appelle fraction, dont a est appellé le Numérateur, et b le dénominateur. Mais quand ce provenant est un nombre entier (qui n’est qu’une répétition de l’unité) ou bien la Somme d’un nombre entier et d’une fraction moindre que l’unité, cet entier est appelé Quotient, et lorsque le dénominateur de cette fraction est le diviseur même, son Numérateur est appelé le Résidu de la division.
Ainsi \frac{6}{3} est 2, \frac{7}{3} est 2 + \frac{1}{3}, car si ces nombres sont multipliés par 3, ils donnent 6, ou 7. On dit que \frac{6}{3}, \frac{7}{3}, \frac{1}{3} sont des fractions; 6, 7, 1 sont les numérateurs, 3 est le dénominateur; 6 et 7 sont dividends et 3 est le diviseur; 2 est le quotient de la division, 1 est le Résidu de la division de 7 par 3.
(7) aa, ou a2, ou \fbox{2}a ou le produit d’a par a, est appellé quarré.
aaa, ou a3, ou \fbox{3}a est appellé cube en allant plus avant; et généralement aa, aaa, aaaa ou bien a2, a3, a4, etc. ou bien \fbox{2}a, \fbox{3}a, \fbox{4}a, etc. est la seconde, 3ème, 4ème, ou autre puissance d’a selon l’exposant 2, 3, ou 4, ou autre. Mais a même ou a1, est la première puissance; est la puissance d’a, selon l’Exposant 2 ou 3, en autre. a2 est appellé quarré et a3, Cube, et a4, biquarré, et a5, surdesolide, et a6, bicube, ou triquarré, et a7 septieme puissance, ou surbisolide; a8, quadriquarré ou 8me puissance, et a9 cubicube, ou tricube, et a10, bisursolide, et a11 surtrisolide, ou l’onzieme puissance, ou la troisieme puissance apres le cube, dont l’exposant sois un primitif. Et a12, quadricube, ou bibicube, ou bitriquarré.
Si a est 3, aa ou a2 sera 9, et aaa ou a3 sera 27, et a4 sera 81; 52 sera 25 et 53 sera 125. \fbox{2} (3 + 2) sera autant que \fbox{2}5 ou 52. Il est à noter cependant que les géometres ont coutume quelque fois d’entendre le quarré par excellence quand ils parlent de puissance.
(8) Chercher un nombre dont la puissance seconde, troisième, quatrième, cinquième, etc. (ou bien le quarré, cube, biquarré, sursolide) soit a, est une opération qui s’appelle extraction de Racine et ce nombre qu’on cherche est appellé Racine quarrée, cubique, biquarrée, sursolide, etc. qu’on désigne ainsi: \sqrt[2]{a}, \sqrt[3]{a}, \sqrt[4]{a}, \sqrt[5]{a}, etc. Mais \sqrt{a} simplement signifie \sqrt[2]{a}.
Ainsi si a est 64, \sqrt[2]{a} sera 8, et \sqrt[3]{a} sera 4, et \sqrt[4]{a} sera 2 car 8 · 8 ou 8^{2} est 64, et 4 · 4 · 4 ou 4^{3} est 64 et 2 · 2 · 2 · 2 ou 2^{4} est 64
(9) a = b signifie qu’a est égal à b.
Ainsi 3 + 2 = 5, 3 – 2 = 1, 3 · 2 = 6, \frac{6}{3} = 2 32 = 9
Et 23 = 8, \sqrt[2]{64} = 8, \sqrt[3]{64} = 4
(10) une parenthese signifie, que ce qui y est compris est pris pour un nombre à part: ainsi a+b+c est autant qu’ (a + b) + c, ou qu’ a + (b + c) et abc est autant qu’ (ab)c ou qu’ a(bc). Car il depend de nous de considerer a+b, ou b+c, ou ab, ou bc, comme un nombre à part, ou de nous abstenir de cette consideration
(11) Un comma marque quelque distinction dans la suite de nos caracteres comme dans l’ecriture; a + b, c par exemple est autre chose qu’ a + bc, car dans le premier cas a + b est multiplié par c; et dans le second, on adjoute à a le produit de la multiplication de b par c. Ainsi, a :, b + c signifie qu’ a est divisé par b + c, on pouvoit aussi marquer cela par la parenthèse en écrivant a : (b + c). Mais lorsqu’il se trouve a : b + c, on ne sait s’il signifie (a : b) + c ou a : (b + c)
(12) A ☾ B marque qu’ A estant vray, B l’est aussi. A ☾ ☽ B marque que l’un suit reciproquement de l’autre, c’est à dire il est autant qu’ A ☾ B et B ☽ A
AXIOMES
(1) chaque grandeur est égale à elle-même
a = a
(2) ce qui est egal à un autre peut être mis a sa place dans les estimations des grandeurs
(3) a + b = b + a
ainsi 3 + 2 = 2 + 3 = 5
(4) a – a = 0
1 – 1 = 0 2 – 2 = 0 3 – 3 = 0 et ainsi dans les autres
(5) 0 + a = a
0 + 1 = 1 0 + 2 = 2 0 + 3 = 3 etc.
(6) ab = ba
3 · 2 = 2 · 3 = 6
(7) 0.a = 0
0\cap 1 = 0 0 \cap2 = 0 0\cap 3 = 0 etc.
(8) 1a = a
1\cap1=1 1\cap2=2 1\cap3=3 etc.
(9) -a = -1\capa
-1=-1\cap1 -2=-1\cap2 -3=-1\cap3
(10) a, b+c = ab+ac
3, 1+2 = 3.1+3.2 = 3+6=9
(11) \frac{a}{a} = 1
\frac{1}{1} = 1 \frac{2}{2} = 1 \frac{3}{3} = 1. etc.
(12) a.\frac{1}{b} = \frac{a}{b} ou bien a:b
(13) a0 = 1
(14) a1 = a
(15) \fbox{e} (\sqrt[e]{a}) = a
\fbox{2} (\sqrt[2]{4}) ou bien le quarré, de la racine quarrée de 4; est 4.
et \fbox{3} (\sqrt[3]{8}), ou bien le Cube, de la racine cubique de 8; est 8.
Supposition
On suppose la vérité des valeurs des nombres. Par exemple que 3 + 2 est 5, et que 3 · 2 est 6, et choses semblables.
Demande
On demande qu’il soit permis de prendre pour un nombre tout ce qui entre dans les operations des nombres comme un nombre tant qu’on ne prouve pas qu’il est impossible. Ainsi 2 – 3 est pris pour un nombre, quoyqu’il soit moindre de rien, savoir -1, et ce nombre augmenté par 2, donne 1. Et \frac{2}{3} est pris pour un nombre, quoiqu’il soit moindre que l’unité, et ce nombre multiplié par 3 donne 2. Et \sqrt[2]{3} est pris pour un nombre quoyqu on ne puisse point l’exprimer par le nombre des parties d’une échelle qui se rapporte à l’unité, c’est- à dire quoyqu’il ne soit point exprimable par la repetition des unités, ou par la repetition de quelcune des parties egales de l’unité. On appelle cela un nombre sourd ou irrationel, on dit aussi que ce nombre n’est point commensurable avec l’unité, ou avec quelque nombre, qui a une mesure commune avec l’unité. Cependant, si ce nombre \sqrt[2]{3} est appelé a, a^{2} (ou aa) donne 3.