See original manuscript

Transcription of Sentiment de Monsieur Leibnitz (1705)

Cum viri docti et a me pro merito aestimati sententiam meam desideraverint, de solutione Problematis a Clmo Saurino data, objectionibus quas vir quidam Calculo Algebraico bene versatus, opposuit, et quibus Saurinus in diario Eruditorum parisiis 13 April. 1705. edito nuper respondit; dissimulare nequeo, admiratum me non mediocriter solutioni evidentissimae talia opponi potuisse.

Huc enim res fere redit ut objectionum autor Calculo differentiarum summarumque utentibus libertatem neget prima Geometriae axiomata in usum suum transferendi. Neque enim permittit substitui aequalibus aequalia et loco rationis dy ad dx valorem ejus in terminis ordinariis repertum poni eo quidem loco quo Saurinus hoc sibi commodum judicarat successu consilium comprobante. Quid facias ad exceptiones confugienti, quas perspectas nemo intelligentium ferat, aut aliter quam ab affectu animi judicium perturbantis excuset. Et tamen Saurinus fiducia causa, et in cumulum responsionis nuperrime adversario morem gessit, substitutioneque huic exosa abstinens, ad eandem tamen conclusionem pervenit, quod eventurum alter praevidere poterat, et negare non debebat. Fateor cum forte diarii supradicti paginam 250 oculos conjecissem praecedentibus nondum lectis, non potuisse me mihi imperare, quin suspicarer objectiones usque adeo leves Saurinum adversario attribuere animo irridendi, sed vix oculis meis fidem habui, cum ipsa hujus verba legi, quibus inter alia diserte habetur 〈u〉trumque aequationis s=xdy:dx latus ad 〈q〉uadratum attollere, operationem esse in Geometriatranscendente inauditam, nulla que ejus regula praescriptam. Qui talia scribere in animum inducit suum, eumne lectoris judicium curare putabimus? Quid ergo, an permissione nobis opus erit, aut regulae ullius autoritate, ut axiomate vulgatissimo utamur, quod docet aequalium quantitatum etiam quadrata aequalia esse? An necesse putat in Regulis calculi novi facillima quaeque veteris repeti; aut Geometriam infinitesimalibus utentem, adeo esse transcendentem, et ab antiqua avulsam, ut regulis ejus uti non possit in rem suam quanquam alioqui in vetere pariter et novo Calculo periti etiam mille novis artibus quotidie cum laude utantur pro re nata, quas nullo jure rejecerit, is qui fortasse earum neque exemplum antea neque regulam vidit.

Unam tamen objectionem viri animadverto speciem aliquam habere, si non e propinquo inspiciatur. Eam ergo examinare operae pretium est. Proposita erat Curva linea, cujus aequatio est

y^4-8y^3-12xyy+48xy+4xx=0

+16yy-64x

ubi y est abscissa, x ordinata. Instituta differentiatione prodit

\frac{dy}{dx}=\frac{3yy-12y-2x+16=v}{{y}^3-6yy+8y-6xy+12x=z}

vel compedio, dy:dx=v:z. Quaeritur subtangens hujus curvae, seu (quod idem est) valor quantitatis xdy:dx, eo casu, quo est x=2=y seu quo fit v=0=z, ubi pro dy:dx=v:z habebimus dy:dx=0:0, quo loco haeret Analysis vulgaris. Hic ergo Cl. Saurinus adhibito articulo 163 Analyseos infinitesimalis ab ill. Marchione Hospitalio editae pulchre ostendit pro 0:0 scribendum dv:dz=dy:dx. Et ipsis dv
et dz actu ipso secundum valores supra assignatos per x; y; dx; dy; expositis et pro x et y denique substituendo valorem 2 quem in hoc casu habent, prodire tandem dy:dx=\pm{\sqrt{1:8}} quod desiderabatur. At Autor objectionis negavit in Methodo Tangentium, quae Calculo differentiarum utitur, permissam esse duplicem differentiationem; affirmans non nisi priorem esse ferendam per quam ex aequatione locali deducitur dy:dx=v:z, rejecta secunda quae adhibet dv:dz. Sed responsio facilis est. Methodum Tangentium generatim non imperare alteram differentiationem, nec tamen eam prohibere cum aliunde in casu particulari imperatur, ut fit hoc loco, postquam methodus generalis tangentium nos deduxit ad 0:0 ubi utique regula aliunde sumta, (etsi et ipsa ad Calculum infinitesimalem pertinente) utendum est, quae docet explicare 0:0, et quae sane a tangentium negotio per se spectato, adeo est independens, ut in eodem articulo 163 exempla non ad tangentes, sed ad ordinatas curvae Algebraicae definiendas pertinentia adhibeantur; salva tamen cuique libertate eandem regulam cum res postulat, ad tangentes applicandi. Eoque magis commendari meretur Saurinus, quod tam opportune de Methodo cogitavit, quae vulgo in Tangentium calculo (quia scilicet raro opus est) non adhibetur. Ut possumus autem huc applicare articulum 163, figuramque 130 ei respondentem concipiendo PN ut v, PO ut z, et PM ut v:z, ita in casu PN, et PO evanescentium seu in casu punti B, manifestum est v:z fore BD. Neque adeo vel minima rationis specie applicatio articuli 163 ad praesentem subtangentis determinandae casum in dubitum revocari potest, cum utique pro curva cujus aequatio localis supra fuit proposita, fiat subtangens ad ordinatam ut BD ad unitatem.

Sed quo minus miretur aliquis pro v:z poni hoc loco dv:dz, addam paucula, quae fortasse ad illustrandum artic. 163 prodesse possint. Sciendum est nimirum non posse determinari quid sit 0:0, (seu 0 divisum per 0,) si ita simpliciter spectetur: neque enim major ratio est cur dicamus 0:0=1 quam 0:0=2 aut etiam generatim 0:0=b. Nam utrumque cujuslibet harum aequationum latus multiplicando per 0, fiet 0 aequale ipsi 0 multiplicato per 1, aut ipsi 0 multiplicato per 2, aut ipsi 0 multiplicato per b. Quorum unumquodque aeque verum est, cum quivis numerus per 0 multiplicatus faciat 0.

Itaque hoc loco non sumemus z et v pro N i h i l i s (ex quibus nihil discemus) sed pro evanescentibus, vel nascentibus, hoc est in nihilum nunc abeuntibus, vel a nihilo jam venientibus aut ut generatim dicam, a nihilo inassignabiliter differentibus. Nihila quippe non sunt magnitudines neque enim in magnitudinibus fieri potest, ut totum sit aequale parti, aut ut duplum sit aequale simplo, cum tamen bis nihil non plus sit quam semel nihil. Itaque pro statu nihili ipso statu transitus utemur ubi adhuc aliquid aut jam aliquid rei adest, etsi assignabile non sit. Porro quantitas z, ubi est nascens aut evanescens, idem est quod dz ibidem existens; et v in simili casu idem est quod dv cum magnitudo nascens aut evanescens, seipsa a nihilo differat inassignabiliter, primaque adeo seu ultima differentia (infinitesimalis scilicet) coincidat cum termino ipso. Quomodo autem casus evanescentium vel nascentium non differat assignabiliter a casu nihilorum; vel ex fig. 130 Analyseos infinitesimalis Hospitalianae manifestum est; Ubi distantia inter B et b quavis assignabili minor intelligitur. Itaque hic casus calculo tractabilis, merito pro casu nihilorum hic intractabili adhibetur. Quemadmodum et in ipsa methodo tangentium fit ex eodem prorsus fundamento, dum enim scribimus dy:dx, differentias abscissarum vel ordinatarum adhibemus non jam coincidentium, ubi differentia plane nulla est, se ad coincidentiam abeuntium, ubi differentiae quoque non adhuc nulla sunt, sed tamen positae in actu evanescendi.

Idque hoc quoque ipsa rei natura admonet intelligentes: cum enim z et v evanescunt, non sufficit loco z:v poni 0:0 quia 0 nullam relationem peculiarem, indicat ad z vel v unde oritur: nobis vero ipsa hujus relationis expressione est opus ex Artis characteristicae praeceptis, indicandumque id quod evanescit esse z vel v non aliud quidvis; neque enim alias ad determinatam problematis solutionem perveniretur. Origo vero hujus nihili ex z vel v tum denum indicabitur si pro z vel v non ponamus id quod prodit ubi jam evanuit (quod omnino nihil est) sed z vel v evanescens, id est dz vel dv. Quemadmodum hoc loco rectissime factum res ipsa ostendit.

Ex his jam intelligitur affirmative a me responderi ad quaestiones sequentes ab amicis propositas.

1. An non in Diario Eruditorum Parisino 3 Aug. 1702 exhibita et 23 April. 1705 repetita solutio problematis quo quaeritur subtangens curvae cujus aequatio localis supra proposita est, conformis sectionis 2 Analys. Inf. parv. articulo 9. Et sectionis 9. articulo 163.
2. An non liberum sit adhibere articulum 163 antequam pro dy:dx substitutio valoris sit facta in generali tangentis expressione quae est xdy:dx.
3. An non manifeste et graviter errasse convictus sit qui putavit per applicationem articuli 163 ante hanc substitutionem non solutionem problematis sed meras absurditates prodire debere.
4. An non prorsus inanes, proponique ac refutari indignae sint caeterae objectiones ejusdem autoris contra sublationem ipsius dy:dx substituto valore factam aliasque operationes analyticas non minus evidentes quas tanquam interpolationes et reformationes calculi infinitesimalis antea inauditas admittere non vult.
5. An non idem manifesti erroris convictus sit dum alteras differentiationes hoc loco concedendas negat.
6. An non manifestissimum errorem defendat qui curvam cujus ordinatae valor sit v:z, vel xv:z impossibilem esse contendit.

See original manuscript