See original manuscript

Transcription of Scientia Perspectiva (1684 – 1687)

S c i e n t i a \: p e r s p e c t i v a est, ars objecti apparentiam in Tabula exhibendi, idest data aliqua Tabula (sive plana, sive superficie concava aut convexa, aut mixta) e t \: o b j e c t o (sive id sit punctum, sive linea, superficies, solidum, cujus natura data est) d a t o q u e \: e o r u m \: s i t u \: i n t e r \: s e, \: e t \: c u m \: o c u l o (etiamsi distantiae quaedam ponantur infinitae aut infinite parvae; infinitae, ut si oculus a tabula vel objecto vel haec inter se infinite distare intelligantur; infinite parvae, si oculus incidat in Tabulam vel objectum, quo casu neutrum debet esse figura plana, vel objectum in tabulam, quo casu saltem non debent esse planae parallelae; item etiamsi oculus sit inter objectum et Tabulam; vel objectum inter tabulam et oculum,) d a t o q u e m e d i o (eo que vel invariato, vel reflectente aut refringente, idque semel aut pluries, et lege vel communi vel alia quacunque pro arbitrio sumta) e t \: s i t u \: a c \: f i g u r a \: l u c i d i (quod rursus vel simplex est, vel multiplex, et vel propinquum vel infinite distans; et si multiplex ejusdem aut diversi gradus, et radiis agit directis, reflexis aut refractis, unde varii illuminationumetumbrarumgradus) ducendi in tabula lineas (quanquam et per mera puncta facta eae lineae designari possint) r e p r a e s e n t a n t e s \: l i n e a s \: o b j e c t i (dum scilicet quodlibet punctum in tabula respondens puncto objecti est illud quo radius ab objecto ad oculum secundum praescriptam visionis legem veniens, si opus continuatus, Tabulam secat. Utile est Tabulam talem et ita sumi, ne bis ab eodem radio secetur vitandae confusionis). S a l t e m (ad minimum) d e t e r m i n a n t e s (hoc est quibus tota superficies objecti sufficienter distinguitur; attamen utile est etiam super flua opera designare et alias insigniores quo melius assimiletur) e t \: e x p r i m e n d i \: s u p e r f i c i e s \: l u c i d a s \: u m b r o s a s q u e (quod fit sive punctis sive lineolis, sive superficiebus seu continuo colore quod lavare vocant) r e p r a e s [ e n t ] a n t e s \: l u c e m \: e t \: u m b r a m \: o b j e c t i (hoc est gradus lucis et umbrarum continue variantes. Idque vel monochromatice fieri potest vel polychromatice. Illud colore duplici uno tabulae, altero qui tabulae illinitur, plerumque autem albo et nigro seu claro et obscuro, sive Tabula sit clara, umbrae autem illito colore designentur, sive color tabulae sit niger, et lux vel vacuis relictis, ut in nocturnis, et novo nigrae calcographiae artificio, sive illito alio colore. Hoc coloribus pluribus vel similibus objecti vel aliis. Semper autem considerandum est non tantum quam lucem umbramve accipiat objectum in quovis puncto, sed et quam inde ad oculum reflectat, quae pro distantia variat. Hinc colores quoque plus minusque vividi esse debent. Porro umbrarum et lucis expressio essentialis est perspectivae pars, et objecta quaedam, ut superficies concavae aut convexae sine ea exprimi non possunt, nec a planis discerni. Nec proinde sufficit ad perspectivam omnium punctorum loca in Tabula designare posse; nisi et cujusque puncti aut potius particulae superficiei clar-obscuritatem designemus).

Haec idea perspectivae vastissima est, et totam comprehendit Geometriam Situs, quae scilicet a magnitudinis (praeterquam rectarum) et motus calculo abstinet. At nos ut eam ad usum communem contrahamus, primum nunc omittamus radium reflexum et refractum, deinde Tabula tantum utamur plana, et luce solis, cujus lineae sunt parallelae.

Denique agamus primum de Situ apparentiarum, seu de a p p a r e n t i i s \: l i n e a r u m, adeoque punctorum, dilatis ad finem usque a p p a r e n t i i s \: s u p e r f i c i e r u m \: s e u \: l u c e \: e t \: u m b r i s

[Fig. 1]

Sit S spectator seu oculus, Tabula plana T. A. B. Objectum O in quo datur punctum quodcunque H, cujus quaeritur in tabula apparentia h, in qua recta SH tabulam secat. Ducatur R a d i u s quo oculi axis opticus in tabulam dirigitur ut SP, qui assumatur tanquam p r i n c i p a l i s ad quem referantur omnia tam objecti, quam Tabulae puncta; secans tabulam in p puncto Principali. Tabula autem intelligenda est eo usque continuata; objectum quoque, cum sit totum Spatium eousque intelligitur jam continuatum, (licet partem tantum delineare velimus) ut radius principalis in ipsum incidat, sive cadat in partem quam delineare volumus sive non jam per punctum H objectivum transeat planum imaginarium parallelum Tabulae, secans radium principalem in P. hoc planum vocabimus o b j e c t i v u m, et punctum in eo P, p r i n c i p a l e \: o b j e c t i v u m . Ducantur in utroque plano rectae parallelae quotcunque, ut pe, hd in uno, et PE, HD, in altero; rursusque aliae parallelae quotcunque angulum quemcunque facientes ad priores, ut pd, eh in uno, et PD, EH in altero; pd seu eh vocetur d e c l i n a t i o puncti h ejus enim magnitudo exprimit quantum in latus declinet a principali p (sive id latus sit dextrum sive sinistrum) at pe vel dh vocetur inclinatio sive elevatio puncti h, ejus enim magnitudo exprimit quantum id punctum h sit supra vel infra principale p. Quanquam autem revera hic dextri vel sinistri superioris aut inferioris discrimen nullum sit in re ipsa, imaginationis tamen et clarioris locutionis causa adhibetur.

Est autem pd : PD :: sp : SP. ob triangula similia spd, SPD.

Eodem modo pe : PE :: sp : SP. ob triangula similia spe, SPE.

Itaque i n c l i n a t i o n e s \: v e l \: d e c l i n a t i o n e s \: p u n c t o r u m \: a p p a r e n t i u m \: s u n t \: a d \: i n c l i n a t i o n e s \: v e l \: d e c l i n a t i o n e s \: p u n c t o r u m \: o b j e c t i v o r u m, \: u t \: d i s t a n t i a \: s p e c t a t o r i s \: a \: p l a n o \: t a b u l a e \: a d \: d i s t a n t i a m \: s p e c t a t o r i s \: a \: p l a n o \: o b j e c t i v o. Distantia autem Spectatoris intelligi potest portio radii principalis intercepta.

Item ob triangula sph, SPH similia patet esse ph : PH :: sp :: SP. Sive d i s t a n t i a e \: p u n c t o r u m \: a p p a r e n t i u m \: a \: p r i n c i p a l i \: a p p a r e n t e \: S e u (omissa plani objectivi consideratione) a \: R a d i o \: p r i n c i p a l i, \: s i v e \: a b \: a x e \: p e r s p e c t i v o si quidem is sit perpendicularis ad tabulam s u n t \: a d \: d i s t a n t i a s \: p u n c t o r u m \: o b j e c t i v o r u m \: a \: p r i n c i p a l i \: o b j e c t i v o, \: u t \: d i s t a n t i a \: s p e c t a t o r i s \: a \: t a b u l a \: a d \: d i s t a n t i a m \: S p e c t a t o r i s \: a \: p l a n o \: o b j e c t i v o.

Verum cum manifestum sit radium principalem, ac puncta principalia esse pro arbitrio assumta; nec mutari apparentiam ph, rectae PH, (manente situ oculi, tabulae, objecti) quicunque demum radius pro principali habeatur, et quicunque etiam assumatur angulus radii principalis ad Tabulam, generaliter dici potest: a p p a r e n t i a m \: r e c t a e \: i n \: p l a n o \: t a b u l a e \: p a r a l l e l o \: d u c t a e \: e s s e \: a d \: i p s a m \: r e c t a m \: u t \: d i s t a n t i a \: s p e c t a t o r i s \: a \: t a b u l a \: e s t \: a d \: d i s t a n t i a m \: s p e c t a t o r i s \: a b \: i l l o \: p l a n o sive illa distantia sumatur in recta perpendiculari, sive alio angulo quocunque semper enim eadem ratio est. Quoniam tamen distantia perpendicularis sola est determinata, merito praefertur.

Proposita igitur figura delineanda sive plana sive solida, ut commodissimum modum eligamus ejus apparentiam determinandi, videamus quomodo ipsa ejus puncta vere seu objective determinentur. Ita punctum plani determinatur, datis distantiis ejus (secundum angulus quoscunque) a duabus rectis in eo plano ductis positione datis, (modo non rectae illae parallelae sint) vel datis distantiis ab una tali recta, et uno puncto, vel quod est simplicissimum datis distantiis a duobus punctis (quanquam tunc duo sint casus, seu duo satisfacientia puncta quae tamen facile discernuntur).

Similiter in solido varii sunt modi puncta determinandi, sive per distantias a tribus planis, sive per distantias a duobus planis et uno puncto vel ab uno plano et duobus punctis, vel a tribus punctis, ubi rursus duo puncta possunt satisfacere. Plerumque autem utile erit considerare planum horizontale, transiens per oculum, et puncti objecti super ipsum elevationes aut depressiones; vel loco hujus plani, horizontem terrae, cui insistere corpus intelligitur. Deinde utile est ita collocari oculum, ut quam plurimas partes objecti videre possit, tabulam quoque ita ut sit quam proxime perpendicularis ad lineas ab oculo ad primaria objecti puncta ductas.

His ita positis cum variae sint viae aliae aliis pro re nata commodiores, haec tamen in universum solet esse aptior. Tabula T.A.B. intelligatur Horizonti perpendicularis; ex puncto spectatoris seu oculi S ducta intelligatur perpendicularis in Tabulam, sp. quae producatur quantum satis est. Et per p ducatur in Tabula recta Ap parallela Horizonti. In objecto intelligantur tria plana, unum horizonti parallelum transiens per oculum, quod vocemus horizontale, alterum Tabellae parallelum transiens per unum aliquod punctum fixum objecti quod vocemus objectivum primarium, tertium verticale transiens per oculum et punctum primarium, perpendiculare horizonti et tabulae. Datur distantia minima spectatoris et Tabellae; item spectatoris et plani objectivi primarii, prior vocetur a, posterior b. jam distantia minima puncti objectivi a plano objectivo primario vocetur l. seu longitudo, et distantia minima puncti objectivi a plano objectivo primario erit b + l. (posito planum objectivum primarium esse propius oculo. Sit remotius erit b − l) Distantia minima puncti objectivi a plano horizontali seu inclinatio vel elevatio vera vocetur E. Ergo inclinatio vel elevatio apparens e erit ad E ut a ad b \pm l. Seu erit e aequ. \dfrac{a}{b \pm l} E. Superest tantum ut sciamus distantiam minimam objectivi a recta primaria, vel si ea non ita facile haberi potest a plano novo perpendiculari ad Tabellam et horizontem, quae est declinatio et vocetur D. quae secabit Tabellam in recta ad horizontem perpendiculari, a qua recta distantia puncti in tabella vocatur d. Erit d aequ. \dfrac{a}{b \pm l} D.

Itaque oblato quocunque objecto mente concipiantur in eo tria plana, unum horizontale oculi (quod facile cognoscitur ex horizontali terrae, et elevatione oculi) secans tabellam in linea horizontali, alterum parallelum Tabellae per punctum aliquod objectivum notabile, tertium verticale seu perpendiculare Tabellae et horizonti secans Tabellam in linea verticali; et data distantia oculi et tabellae a, distantia oculi et plani objectivi primarii b, distantia puncti objectivi propositi et plani objectivi primarii (seu longitu- dine vera L, distantia puncti objectiv propositi et plani verticalis (seu declinatione sive latitudine vera) D distantia puncti objectivi propositi et plani horizontis oculi (seu inclinatione sive elevatione vera) E, erit in Tabella apparentiae hujus puncti declinatio a linea verticali, d aequ. \dfrac{a}{b \pm l} D, et inclinatio a linea horizontali, e aeq. \dfrac{a}{b \pm l} E.

Post hanc methodum universalem ad compendia veniendum est; quae in eo potissimum consistunt, ut non punctorum tantum verorum respondentes apparentias punctis expressas sed et linearum integrarum respondentes apparentias in lineis exhibeamus earumque linearum in plano Tabellae describendarum naturam cognoscamus. Et quidem apparentia puncti est punctum. Apparentia linae rectae est recta, nisi tunc cum omnia ejus puncta in radium aliquem visionis incidunt, tunc apparentia rectae est punctum quod fit quando plura puncta eandem habent inclinationem et declinationem (ab eodem latere), seu cum inclinationes et declinationes proportionaliter crescunt cum ipsis b \pm l seu longitudinibus distantia oculi a plano objectivo primario auctis. Lineae autem curvae apparentia punctum esse non potest, nisi fingamus visiones imaginarias per lineas curvas. Si duae lineae se tangant aut secent, etiam apparentiae earum se tangent aut secabunt. Si duae rectae sint in eodem plano quod continuatum transit per oculum, habent eandem apparentiam (et contra). Nam recta qua planum hoc Tabellam secat, totius plani apparentia est. Apparentia lineae objectivae ad Tabellam parallelae, est ipsi lineae objectivae parallela. Hinc apparentiae linearum objectivarum Tabellae parallelarum eosdem faciunt angulos inter se, quos ipsae linae objectivae, et proinde si linea in plano tabellae parallelo describatur, minimae ad ipsam apparentia erit et ad apparentiam minima. Apparentia lineae cujuscunque rectae vel curvae in plano tabellae parallelo descriptae est alia linea priori similis. Rectarum convergentium etiam apparentiae sunt convergentes concurruntque in puncto quod est apparentia puncti communis. [Itaque recta per oculum ad punctum convergentiae ducta tabulam secabit in puncto quod erit apparentia puncti convergentiae; nam cum radii seu rectae per oculum ductae apparentia debeat habere punctum commune cum aliis apparentiis, nec nisi unicum punctum habeat, illud ipsum unicum punctum erit hoc punctum commune]. Hinc cum parallelae intelligi possint convergentes infinito ab hinc intervallo, patet etiam punctum quo recta ipsis parallela per oculum ducta Tabellae occurrit, eorum apparentiam communem esse, ac proinde parallelarum apparentias esse convergentes, modo ipsi Tabulae parallelae non sint. Hinc ipsum punctum principale est apparentia communis rectarum quae sunt ad tabellam normales. Ex his apparentiae figurae planae cujuscunque licet planum tabellae parallelum non sit ita determinantur.

[Fig. 2]

Sit Tabula TTO, planum anguli BAC sit OOT secans Tabulam in TO et projectio ipsius ABC erit abc.

Sit BC parallela ipsi TO, erit bc eidem parallela. Ducantur AE, BM, CN ad concur sum planorum, Inde ad punctum principale jungantur rectae MP, EP, NP posito SP esse parallelam ipsis CN, AE, patet ipsas MP, EP, NP esse apparentias rectarum per M et B, E et A, N et C transeuntium, adeoque puncta b, a, c, in ipsas cadere. Quod si alias ducas parallelas ad eandem rectam communem plani et tabulae si opus productam, ut AH, , , et iis parallelam , ad habendum novum punctum principale et jungas , μπ, νπ eae secabunt priores EP, MP, NP in punctis a, b, c, quaesitis. Ut autem hoc quam optime fiat in praxi, hanc rationem deprehendo commodam, ut parallelae diversae inter se invicem faciant angulum rectum, ad ipsam autem MN semirectum.

Erit ergo ang. πSP rectus et inter π et p sumendo mediam \omega, erit ob ang. \omega semirectum, π\omega vel \omegap aequal. a s\omega si nos concipimus \omega tanquam distantiam oculi a Tabula, itaque sumto \omega tanquam puncto principalissimo sumantur ab utraque parte \omegap et \omegaπ aquales d i s t a n t i a e \: T a b u l a e \: a b \: o c u l o. Inde a punctis objecti B, A, C ducantur ad rectam planis communem perpendiculares B2, A1, C3 et ipsi distantiae B2 sumantur aequales 2M et (ob angulum M vel μ semirectum). Similiter 1E et 1H aequales a 1A, et denique 3N et aequales a 3C, atque ita ducentes rectas ad puncta principalia P et π, et ep se secabunt in a, μπ et MP in b, denique νπ et NP in C. Quod si angulus non sit semirectus possumus tamen idem efficere ubicunque sumamus punctum a principalissimum, licet enim angulus S\omegaP ponatur obliquus, si tamen \omegaP et \omegaπ ponantur aequales inter se, et junctis S\omega, SP, duca[n]tur ut ante ipsis parallelae A1, AE, AH et ita de caeteris, res succedet, et eadem provenient puncta a, b, c eruntque 1E, 1H aequales, eandemque rationem habebunt ad A1 quam \omegaP vel \omegaπ ad S\omega, imo etsi puncta π et P sumantur pro arbitrio modo, AE, AH eandem habeant proportionem inter se, quam SP, (positis ipsis parallelis ad AE, AH, idem invenietur punctum H.

Hinc patet quoque etiam plani considerationem non necessariam, sed si ex punctis quibuscunque A, C, B, utcunque sitis, ex unoquoque duae ducantur, una AE parallela ipsi SP, altera AH ipsi utcunque assumtis junctae EP, dabunt A semper idem.

[Fig. 3]

Res ergo generaliter huc redit, a punctis quotcunque ut A, B, C ducantur ad tabellam rectae parallelae AE, BM, CN, et aliae parallelae AH, , , et rectae puncta in plano designata sint semel in universum P et π, ita ut sit S. oculus, SP prioribus posterioribus parallela; ducantur rectae ex E, M, N ad P, ut ex H, μ, ν, ad π, eae se secabunt in punctis quaesitis.

Quod si ponamus pro arbitrio a puncto S, (oculo spectatoris.) duci tres rectas sp, s\omega, et ex punctis objecti ut C similiter tres rectas iis parallelas CN, CK, , et cadant P, \omega, π in eandem rectam, cadent et N, K, ν in rectam ei parallelam, eruntque omnia proportionalia seu similia; itaque si ducatur CK parallela S\omega et ducta per K recta parallela ipsi π\omegaP sumantur in ea KN, et quae sunt ad KC, ut \omegap et \omegaπ sunt ad S\omega ducanturque Np, et νπ secabunt se in apparentia ipsius N. et proinde veniendo ad modum specialem in praxi plerumque aptiorem, si sit s\omega perpendicularis a spectatore ad Tabulam, P\omegaπ parallela horizonti et \omegap item \omegaπ aequal. s\omega; similiter pro habendis apparentiis punctorum, ut C, ducta CK perpendiculari ad tabulam et per K ipsa parallela ad horizontem, sumtisque KN, quae sint ad KC ut \omegaP, \omegaπ sunt ad S\omega, id est in isto modo speciali sumtis KN, aequalibus ipsi KC distantiae objecti a tabula, ductae NP, νπ se secabunt in apparentia puncti N. Hinc et talis praxis derivatur: Sit P punctum aliquod principale seu locus relativus oculi in tabula, et sit aequalis ipsi SP distantiae oculi ab ipso loco relativo, (π quidam vocant p u n c t u m t e r t i u m ). Sint jam puncta quotcunque quorum apparentia in Tabula designanda est, ut, A, B, C, sumatur cujusque ex ipsis ut A, locus relativus E et EH distantia puncti a suo loco relativo (posito AE ipsi SP, et AH ipsi , adeoque EH ipsi esse parallelas) junctisque EP, intersectio erit punctum A quaesitum. Quod et sic exprimi potest. Sit P locus oculi in Tabula relativus aequalis distantiae oculi a puncto relativo, seu distantiae oculi relativae; jam E, M, N loca relativa punctorum objectivorum A, B, C.; et EH, , aequales distantiis punctorum objecti relativis, parallelae ipsi , et sumtae in contrariam partem seu dextrorsum, ab E, M, N si π sumtum est sinistrorsum, posito tabulam cadere inter oculum et objectum; in eandem partem vero sumentur si oculus et puncta objectiva sint ab eadem parte Tabulae; a locis relativis punctorum ducantur rectae ad P. locum relativum oculi, et a punctis distantiarum ad π punctum distantiae oculi, EP et , item MP et μπ, item NP et νπ dabunt puncta quaesita, a, b, c apparentias punctorum A, B, C.

Generaliter regula perspectivae totius sic exprimetur: L o c a \: r e l a t i v a voco puncta quibus parallelae inter se per puncta realia seu objectiva ductae occurrunt Tabulae. Jam si oculi pariter ac punctorum objectivorum, dentur bina cujusque loca relativa secundum diversos parallelismos, et ab uno quoque loco relativo puncti objectivi, ducatur in Tabula recta ad locum relativum oculi ejusdem parallelismi, quae rectae vocentur radii relativi, dico apparentiam puncti objectivi, fore intersectionem duorum radiorum relativorum ad hoc punctum pertinentium.

Imo in mentem venit, an non eadem apparentia proveniat, si pro parallelas adhibeantur convergentes, ita enim adhuc generalior habebitur methodus, nam parallelae sunt tantum casus convergentium.

Ponamus ergo esse duas convergentias, seu duo diversarum convergentiarum centra \odot et \circledast¹ et tam ex centro \odot, quam ex centro \circledast duci rectas per S (oculum) et A, B, C, puncta objectiva, occurrentes tabulae in punctis, quae dicentur relativa; sit E locus relativus ipsius A, secundum convergentiam \circledast, et H secundum convergentiam \odot; et objecti A, oculi S loca relativa ψ et φ secundum convergentias \circledast et \odot; jungantur , et eritque eorum intersectio apparentia a, puncti A, quod an verum sit videamus. Certum est ex praecedentibus rectae \circledastAE apparentiam in tabula esse ψE, et apparentiam rectae \odotAH esse rectam φH, ergo puncti A communis rectarum verarum \circledastAE, et \odotAH, erit a punctum commune seu intersectio apparentiarum ψE et φH.

Generalissima ergo perspectivae regula haec est, qua praxes aliae continentur, tanquam modi speciales: L o c a \: r e l a t i v a voco puncta quibus convergentes inter se (sub quibus comprehendo parallelas) per puncta realia seu objectiva ductae occurrunt tabulae. Jam si oculi pariter ac punctorum objectivorum dentur bina cujusque loca relativa secundum diversas convergentias (vel parallelismos[)], et ab unoquoque loco relativo puncti objectivi ducatur in Tabula recta ad locum relativum oculi, quam vocabo radium relativum, seu apparentiam convergentiae, dico apparentiam puncti objectivi fore duorum radiorum relativorum ad idem punctum objectivum pertinentium intersectionem.

Illud autem hic consideratu adhuc dignum videtur, cum tria sint puncta fixa, S. \odot. \circledast, ex quibus ductae rectae ad punctum objectivum A, Tabulam secant nempe SA, \odotA, \circledastA, quae Tabulam secant in a, π, e, et ope locorum relativorum convergentiarum ad \odot et \circledast, invenitur locus relativus convergentiae ad S qui est ipsa apparentia, posito S oculo; revera tamen unumquodque trium punctorum posse considerari ut oculum, vel omissa oculi mentione, ac re reducta ad puram geometriam, unumquodque ex his tribus punctis S, \odot, \circledast posse tractari eodem modo. Et cum trianguli S\odot\circledast duo latera ⊙S, \circledastS secent tabulam in punctis φ et ψ, restat ut punctum designemus ξ quo tertium latus \odot\circledast, si opus productum tabulam secat, et hoc punctum tanquam fundamentale designemus in Tabula. Cum ergo puncti A, tria sint loca relativa, a, E, H, secundum convergentias S, \circledast, \odot, et rectae ex \circledast et \odot ad S secant tabulam in ψ et φ, ex \odot et S ad \circledast secant tabulam in ξ et ψ, ex S et \circledast ad \odot secant tabulam in φ et ξ, itaque quemadmodum et secant se in a, ita et secabunt se in E, ac denique et secabunt se in H (an hoc fortasse hexagrammum Pascalii enim ex tribus punctis, sex, in eodem plano: ψ, φ, ξ et a, E, H). Hic videndum an non juvetur constructio assumto puncto ξ, et consideratione universalitatis, quod scil. puncta ψ, φ, ξ arbitraria et quomodo referantur ad ipsa a, H, E uno ut a semper manente.

See original manuscript