Transcription of De Curva Perraltii (1677–1693)
DE CURVA PERRALTII
Claudius Perraltus editor Vitruvii, idemque Academiae Scientiarum Regiae membrum, talem mihi aliisque curvam investigandam proposuit. Sit corpus C filo alligatum BC, ego fili extremitatem B apprehendens manu, ducensque per rectam 1B2B3B4B5B, cogo corpus C. sequi; sed quia linea BC non est rigida, sed filo flexili constans, ideo extremitas C non fertur parallela ipsi B, sed ob corporis C resistentiam nonnihil retardatur; quaeritur quae sit linea 1C2C3C4C5C.
Solutionem ei hactenus nemo dedit, ego talem reperi. Considerandum est manum B non movere secum corpus C, nisi quatenus ipsum trahit, id est quatenus corpus C in eadem recta movetur in qua manus, seu manum sequitur, non vero quatenus movetur in parallela seu manum comitatur. Unde si filum semper facillime allongari posset, corpus C manum B nullo modo sequeretur, cum tamen esset eam filum comitaturum si filum rigidesceret, licet posset allongari.
Unde motum manus ex duobus consideremus compositum, uno quasi circa C in arcu 1BD, quo nihil agit in corpus C, altero ex D in 2B, quo secum corpus 1C trahit in 2C. Unde patet rectam 2B2C esse curvae CC tangentem, quae cum sit semper eadem, aequalis scilicet longitudini ipsius fili, habemus ergo Curvae CC naturam talem, ut tangens BC inde producta ad axem BB, sit semper aequalis datae rectae EF. Quod quidem rigorose demonstrare possum si fingam manum ducentem moveri non in recta 1B2B3B4B, sed in composita ex arcubus ex rectis 1B1D2B2D3B3D4B, hoc enim supposito manifeste oritur quod diximus. Potest enim supponi nam positis rectis 1B2B, 2B3B, etc. infinite parvis, adeoque et arcubus infinite parvis 1B1D, 2B2D, 3B3D, etc. utique manus a recta BB non recedit, nisi intervallo infinite parvo, sive nullo intervallo. Constat etiam rectam quae duo curvae puncta intervallo infinite parvo a se remota jungit, nempe 1C2C, vel 2C3C semper esse tangentem.
Res ergo reducta est ad hoc problema Geometricum, invenire curvam cujus tangentis portio inter curvam et axem intercepta sit data seu erit: \sqrt{\overline{dx}^2+\overline{dy}^2}:dy::a:y. seu \overline{dx}^2+\overline{dy}^2:dy^2::aa:yy seu \overline{dx}^2\smile\overline{dy}^2,+1 aequ. aa\smile{yy} seu \overline{dx}^2\smile\overline{dy}^2 aequ. aa\smile{yy}, -1 seu \overline{dx}^2\smile\overline{dy}^2 aequ. \overline{aa-yy}, \smile{yy}, seu dx aequ., \frac{dy}{y}\sqrt{aa-yy}.
Faciamus \omega:a::dx:dy et quadrante circuli descripto LMO cujus centrum G, radiusque GM sit a: et GH sit y. HMsqrt{aa-yy}, tunc LN seu tangens arcus LM, erit \omega, est enim LN ad LG seu ad \underline{a}, ut HM ad HG seu ut \sqrt{aa-yy} ad y. At eodem modo posuimus esse \omega ad a, nempe ut dx ad dy seu ut sqrt{aa-yy} ad y. Fiat in HM producta HP aequal. LN, erit LPQ curva tangentium. Describatur alia LZRS curvae tangentium, nempe curvae LV PQ, quadratrix, ita ut fit TZ ad HR ut LTV L ad LHPV L, tunc ordinata TZ vel HR erit x, quia dx ad dy ut \omega ad a.
[On the side:] Brevissime C non movetur nisi tractione, tractione autem sequitur filum in eadem recta. Jam Motus est in tangente, ergo filum est tangens. Notabile nihil referre parum an multum corpus C motui renitatur modo cogatur sequi et filum non
extendatur.
Patet etiam quia \sqrt{\overline{dx}^2+\overline{dy}^2}:dy::a:y. seu quia est \sqrt{\overline{dx}^2+\overline{dy}^2} aequ. ady\smile{y} Elementa hujus curvae esse progressionis harmonicae, seu proportionales ordinatis Hyperbolae, et proinde curvae ipsius arcus esse proportionales Logarithmis, posito abscissas GH esse aequales numeris posito logarithmos omnes esse infinitos, sed si logarithmos incipiamus ab L. Licet numerorum a SG logarithmi omnes erunt finiti, excepto logarithmo nihili, qui infinitus.
Memini jam me in alia scheda quaerentem Curvam cujus arcus essent Logarithmis proportionales, invenisse ejus hanc fore proprietatem, ut portiones tangentium inter axem et curvam semper essent constanti aequales, et porro quaerendo invenisse hanc curvam fore quadratricem Tangentium, et vero patet ejus determinationem analyticam pendere ex quadratura Hyperbolae seu constructioni Logarithmorum; at ejus determinatio Organica, seu descriptio per Motum continuum hoc modo reperta est.
Notandum est sive corpus C pondere suo, sive asperitate medii, sive appressione, sive Elaterio retineatur semper eandem fore curvam. Ut si corpus \Omega C ponatur esse Elasticum cujus extremum unum \Omega sit fixum, ita ut nec circa centrum \Omega moveri possit, hinc motu manus filum BC adducente sequetur punctum C, et arcus \Omega 1C rectus, in \Omega 2C erit flexus nonnihil, in \Omega 3C ad huc magis et ita porro, quamdiu C propius accedit ad \Omega.
Notandum, si BB non sit recta sed curva quaelibet, semper tamen portionem tangentis ipsius lineae CC interceptam inter lineam BB et lineam CC fore aequalem datae EF. Ordinata lineae BB sit \upsilon. Fiet: \sqrt{\overline{dx}^2+\overline{dy}^2}:dy::a:y-\upsilon. Ubi cum \upsilon pendeat ex x. ex parte. Inventio curvae analytica fit perdifficilis, at descriptio hac eadem Methodo facillime habetur, tantum ducendo manum per lineam BB.
Imo si ponatur ipsa BC portio tangentis intercepta continue crescere in certa ratione seu relatione ad WB hoc modo habebitur curvae descriptio.
Elegans observatio si curva BB quam percurrit manus sit circulus, curva CC erit etiam circulus, et quidem concentricus priori et minor; sed requiritur ut constans BC sit minor circuli BB radio.
NB. generaliter possum hoc problema solvere, qualis debeat esse linea BB ut curva CC fiat data. Ex. gr. debet CC esse recta, tunc BB erit etiam recta, et initio incidet in situm fili.
Ut 1C fiat parabola. Sit C parabola, erit 1B data. 43 aequ. bis 13 seu 2x. 3C aequ. \sqrt{2ax}. Ergo 4xx+2ax aequ. \overline{C4}^2 Sit 12 aequ z. et 2B \upsilon. jam 41 est x; fiet x+z: 4B seu \sqrt{4xx + 2ax}-h::2x:\sqrt{2ax}. Rursus x+z:\upsilon::x-z:\sqrt{2ax}-\upsilon. \overline{x-z}^2+\overline{y-z}^2 aequ. a^2. y-\upsilon aequ. \sqrt{aa-\overline{x-z}^2} aequ. \upsilon\upsilon.