Transcription of De curvis similibus et similiter positis et parallelis (1685) (Partial transcription)
Dubitavi diu an duae curvae inaequales (praeter circulos) exacte similes esse possint, ex. g. duae Ellipses, duae parabolae, etc. Notabam enim circulum circulo ubique aequidistantem esse posse, curvam verò aequidistantem Ellipsi vel alteri curvae non esse Ellipsis aut eiusdem cum sua curva denominationis. Et videbatur mihi duas curvas similes et similiter positas necessariò debere esse parallelas, jam verò deprehendi id necesse non esse (si parallelismus pro aequidistantia sumatur esse tunc si parallelismus sumatur ab angulis iisdem quas rectae parallelae ex punctis similiter positis eductae ad ambas curvas faciunt vel eadem recta educta ex centro communi). Et vidi cuilibet curvae aliam similem et similiter positam posse exhiberi an generatione eius ratione simili seu singulatim indiscernibili procedatur.
Ex. gr. si centro C diametro AD describatur semicirculus ABD et quamlibet eius ordinatam ut EB in data ratione producendo usque ad B, sint semielliptica AFD. Et similiter centro eodem C diametro GH describatur alius semicirculus GLH, cuius ordinata quaevis ML in eadem quam dixi ratione producatur in N, fiet semielliptica GNH priori similis et similiter posita, omnia enim singulatim utrobique indiscernibilia sunt.
Hinc duae circumferentiae Ellipsive similes erunt inter se ut axis, areae verò ut axium quadrata.
Duae rectae ex centro eductae CPQ, et CRS, duabus ellipsibus FF et NN occurrentes, illi in punctis P et R, huic in punctis Q et S, abscindent sectores et areas similes et similiter positos, eritque sector PCRP ad sectorem QCSQ ut area ellipsium seu ut quadratum AD ad quadratum GH; seu ut sector TCVT respondens circuli generantis minoris ad sectorem respondentem WCXW circuli generantis majoris. Et arcus Ellipticus PR erit ad arcum ellipticum QS, ut arcus circularis PR ad arcum circularem WX, seu ut AD ad GH.
Hoc amplius recta quaevis ex centro educta utrique Ellipsi ad eosdem angulos occurrit, seu Ellipses duae in punctis P et Q sunt sibi parallelae seu eandem habent inclinationem, hoc enim sensu hic parallelismum intelligo.
Atque haec quidem si rectae ex puncto quod utrobique eandem functionem facit educantur nempe ex centro communi. Sed si duo sumatur puncta diversa in diversis Ellipsibus eamdemque functionem facientia, ut vertices D et H (ut nunc de focis nil dicam) et ex iis educantur rectae parallelae, ut DF, HN idem ab his rectis parallelis probabitur quod in centro ab eadem ita segmenta DFPD, HNQH erunt etiam inter se ut quadrata axium et arcus eorum ut axes; et ad eosdem angulos curvae occurrent nam et rectae parallelae sunt inter se ut curva ibi parallela curvae nimirum in N eadem inclinatio quae in F, nam et recta CFN ex centro occurret utrique. Idem erit si non ut hactenus rectae, sed alia curva similes et similiter positae ducantur, ea etiam partes circumferentiarum et arearum proportionales abscindunt et ad eosdem angulos occurrent utrobique.
[…]
Caeterum ita solutus est mihi nodus, cognita vera similitudinis et parallelismi natura, qui me diu vexabat; cum à priori satis intelligerem unamquamque figuram posse contrahi vel expandi in aliam minorem vel majorem per omnia similem et similiter positam, et tamen lineam lineae parallelam ducendo eo sensu ut recta ad rectam perpendicularis etiam esse ad alteram perpendicularis (quo casu aequidistantes sunt) obtinerem curvas planè dissimiles.