Transcription of Mathesis Generalis (1699 – 1700)
(1) Mathesis Generalis est Scientia magnitudinis in universum duasque habet partes Scientiam finiti seu Algebram quae prior exponetur et Scientiam infiniti, quae nunc demum nuperrimè est constituta.
(2) Magnitudo est quod designatur numero partium congruentium. Itaque magnitudo orgyiae est quod designatur senario pedum, pedes enim congruunt inter se; vel numero 72 digitorum, si pro mensura sumamus digitum qui est duodecima pars pedis. Itaque numerus generalis magnitudinem designans variat pro mensura repetenda diversi mode assumta.
(3) Numerus integer est totum ex unitatibus tanquam partibus collectum: itaque definitiones numerorum sic procedunt:
(4) Duo est unum et unum.
Tria est Duo et unum.
Quatuor est tria et unum.
Quinque est Quatuor et unum et ita porro.
(5) Designatio autem talis recepta est
0 Nullum
1 Unum
2 duo
3 Tria
4 Quatuor
5 Quinque
6 Sex
7 Septem
8 Octo
9 Novem
Et ita porro, quomodo enim pergatur suo loco patebit. Et sequens fit ex proximè praecedente addito uno.
(6) Hinc ex definitionibus istis demonstrari possunt Enuntiationes Numericae variae, exempli causa, quod Duo et Duo sint quatuor, sic demonstratur : Duo et duo sunt duo et unum et unum. Jam
Duo et unum et unum sunt tria et unum. Denique tria et unum sunt quatuor. Ergo duo et duo sunt quatuor. Quod erat demonstrandum.
(7) Magnitudo designatur numeris generalibus seu literis a, b, etc. Ita si orgyia designetur per a, significabuntur per literam a vel 6 scilicet pedes vel 72 nempe digiti, vel alius numerus quicunque idem conficiens, sed pro variata mensura enuntiatione diversus.
(8) Aequalia sunt quorum eadem est magnitudo. et designatur aequalitas per notam =, exempli causa duo et duo = quatuor vel 2 et 3 = 5. Unde aequalia sibi salva magnitudine substitui possunt.
(9) Minus est, quod alterius, nempe Majoris parti aequale est. Ita ulna est minor orgyia, aequatur enim parti orgyiae duabus pedibus constanti. a > b vel b < a significat a esse majus et b esse minus.
(10) Axioma est indemonstrabile : unumquodque sibi ipsi aequale esse.
(11) Pars est minor toto. Nam pars aequatur parti totius, nempe sibi (per axioma articuli 10) quod parti totius aequatur id toto minus est per artic. 9. Ergo pars toto minor est, vel totum est majus parte.
(11.2) Magnitudines omnium partium nullam partem communem habentium simul sumtae faciunt magnitudinem totius. Nam totum idem est quod omnes partes. Hinc magnitudo totius coincidit simul sumtis magnitudines omnium partium non nisi novam magnitudinem ponendam: quam non ponerent partes habentes partem communem, cuius magnitudo poneretur bis, igitur imposterum in hoc calculo semper intelligentur partes nullam partem communem habentes.
(12) Additio est si ex pluribus magnitudinibus ita fiat una, ut nihil aliud opus sit quam eas simul poni, et tunc quidem singulis praeponitur signum, + seu plus. Ita si a, et b et c, conjungantur ut faciant m
+ a + b + c = m, ut 2 + 3 + 4 = 9.
(13) Nec proinde refert quis sit ordo in membrorum, eritque adeo
+ a + b = + b + a; sive + 2 + 3 = + 3 + 2.
(14) Plerumque autem signum + primo membro praefixum solet omitti ac subintelligi adeoque pro + a + b solet scribi a + b.
(15) Et vicissim quoties litera aut numerus simpliciter ponitur, intelligitur ei praefixum signum +.
(16) Additio autem seu quod designatur signo + .. revera est progressus nempe quo magnitudo crescit. Ut si in recta linea R mobile tendans ab R versus S primum conficiat RT seu pedes a seu 2, deinde adhuc TV seu pedes b sive 3, conficiet in summa RV id est pedes e seu 5, eritque a + b = e seu 2 + 3 = 5, seu RT + TV = RV.
(17) Sed Regressus vel subtractio, vel magnitudinis diminutio designatur signo –, quod significat minus. Unde si mobile progressum ab R ad V inde regrediatur ad X per VX, pedes nempe 4 vel c, erit progressus RT + TV – VX = RX seu a + b – c seu 2 + 3 – 4 = 1.
(17) Quodsi Regressus sit major progressu, in summa prodibit progressus falsus, qui revera erit Regressus. Et talis progressus erit minor nullo, numerusque qui eum designabit dicetur esse minor nihilo. Ut si mobile progressum ad V inde regrediatur per VY usque ad Y, fiet RT + TV – VY = RY seu a + b – f = g seu 2 + 3 – 6 = – 1, et g seu RY erit quantitas minor nihilo, seu negativa; tantum enim abest ut progrediamur hoc modo, ut potius retro sublapsi referamur. Quemadmodum si navis vento feratur ad locum destinatum celeritate a + b, interea verb insensibili aquae currente, in contrarium feratur celeritate ut f; non lucrabitur sed perdet. Idemque est si expensae excedent reditus; ita enim bonorum corpus erit quantitas nihilo minor et qui sine beneficio inventarii adibit haereditatem pro lucro damnum feret. Oportet autem regressum infra nihilum rei cujus progressio est esse possibilem ut in patrimonio si scilicet non corporali possessione, sed jure patrimonium aestimetur.
(18) Incertum igitur interdum est utrum progressus sit verus an falsus, et utrum g id est e – f sit quantitas affirmativa an negativa. Interim moles eius erit differentia inter e et inter f quae quantitas semper est affirmativa; sed si faciamus f – e = h, erit g = – h, habebuntque haec duo eandem quidem molem, signa vero opposita; ut uno existente affirmativo alterum sit negativum utrum autem sit non potest cognosci, nisi constet, utrum ex duobus membris e et f sit majus: nam si majus subtrahatur a minore residuum erit minus nihilo seu erit regressus.
(19) Ex his porro manifestum est, ut progressus falsus est regressus, ita vicissim regressum falsum esse progressum seu progressum esse regressum regressus. Revera enim a sola destinatione pendet, quid progressum aut regressum appelles, et si duo sint in eadem navi, qui contraria habebunt destinata, quod uni progressus, alteri regressus erit. Itaque si mobile ab R regressum versus plagam S via RV, et regressum versus K via VY regressum in summa sit ab R ad Y. Tendens autem ab V versus K, ubi ad Y pervenerit, in contrarium ire iterum jubeatur versus S; per YZ, seu 7 pro regressu erit progressus. Sit nempe regressus erit VY – YZ = VZ id est 6 – 7 = –1 itaque regressus erit –1 id est progressus erit +1 per V ad Z. Ex his patet si quid minuatur quantitate nihilo minori id augeri, perinde ac si cui dicatur adimi debitum, aut haereditas damnosa sine beneficio inventarii adita.
(20) Et haec quidem ad juvandam imaginationem prodesse visa sunt, sed nunc certas propositiones constituemus quae fundamenta demonstrationum esse possint. Et primurn. quidem
(21) Si a = b et c = b erit a = c vel ut vulgo enuntiant aequalia uni tertio sunt aequalia inter se.
Quod sic demonstrare licet: in praemissa priore, a = b pro b substituatur ei aequale (per artic. 8) quod est c (per praemissam posteriorem, b = c) et prodibit conclusio, a = c.
(22) Si aequalibus addas aequalia fiunt aequalia sit ipsi a = b et ipsi l = m, erit a + l = b + m. Demonstratio: a + 1 = a + 1 (per axioma articuli 10) pro a posteriore ponatur b, et pro 1 posteriore ponatur m, sunt enim respective aequalia ex hypothesi, et aequalia sibi substitui possunt per artic. 8. Ergo fit a + 1= b + m.
(23) Si aequalibus auferas aequalia, residua sunt aequalia. Sit ipsi a = b et ipsi 1 = m, fiet a – l = b – m. Demonstratio est eadem quae ante.
(24) Si e = + a + b erit – e = – a – b. Si auferri debeat 5 utique auferetur 2, itemque 3 seu – 5 = – 2 – 3. Patet ex artic. 11.2.
(25) a – a = 0. Seu si tantum addatur quantum adimatur residuum est nihil; vel si progressus sit aequalis regressui in summa nec progressum nec regressum est. Hoc pendet ab ipso significat[ione] notarum.
(26) 0 + a = a = – 0 + a seu 0 membrum addi abjicique potest impune.
(27) Si h = – g erit – h = g. Nam h = – g ex hypothesi, ergo g + h = g – g (per artic. 22). Ergo g + h = 0 (per artic. 25). Ergo (per 23) g + h – h = 0 – h. Ergo (per 22) g = 0 – h seu per (26) g = – h.
(28) Itaque + g = –\overline{– g} seu auferre –\overline{– g}, idem est quod addere g. Nam si h=–\overline{– g} est g = – h (per 27). Ergo in posteriore aequatione pro h ponendo valorem ex priore fiet g=–\overline{– g}, quod afferebatur.
(29) Si formula addenda sit ascribitur retentis signis membrorum sit e addendum ad c, ut fiat e + c, et sit c = f – a, utique erit e + c = e + f – a. Quod patet ex simplici substitutione eius quod ipsi c aequale est, in ipsius c locum. In numeris 4 = 6 – 2 fiet 5 + 4 = 5 + 6 – 2 = 9.
(30) Si formula subtrahenda sit, ascribitur mutatis signis membrorum, + in –, et – in +. Sit c = f – a, erit – c = – f + a. Nam c = f – a. Ergo – c = – f –\overline{– a} (per artic. 24) sed –\overline{– a} est + a (per ante. 28) ergo – c = – f + a. Unde etiam e – c = e – f + a. Numeris si 4 = 6 – 2, erit– 4 = – 6 + 2 et 5 – 4 = 5 – 6 + 2 = 1<
(30.2) Additio et subtractio seu mutuo resolvunt et comprobant ita ut si a summa detrahas additum residuum sit id cui addebatur. Sit e = a + b erit e – b = a. Nam quia e = a + b. Ergo (per 23) erit e – b = a + b – b, id est (per 25 et 26) e – h = a.
(30.3) Et vicissim si residuo addas subtractum summa erit id cui subtrahebatur sit e – b = a erit e = a + b. Nam quia e – b = a fiet (per 23) e – b + b = a + b< Ergo (per 25 et 26) e = a + b.
(30.4) In omni aequatione membrum quotcunque potest ab uno latere tolli et in alterum mutato signo transferri salva aequalitate. Sit e = f – b + a erit e – f + b = a. Nam quia e = f – b + a fieri potest (per 23) e – f + b = f – b + a – f + b id est (per 25 et 26) = a.
(31) Multiplicatio est aequalium additio et si idem numerus toties ponatur quoties in alio est unitas, dicetur prior numerus multiplicatus, posterior vero multiplicans; summa autem erit productum. Sic 2 + 2 + 2 = 3 • 2 seu ter duo et 2 est multiplicatus, 3 multiplicans, et 3 • 2 seu ter duo productum. Eodum modo a + a + a = 3a vel a posito b = 3.
(32) Idem est productum si ex multiplicato multiplicans fiat, et contra veluti 2 + 2 + 2 seu 3 • 2 seu ter duo idem est quod bis tria seu 2 • 3 seu 3 + 3. Quad ita demonstratur: Multiplicatus 2 toties ponitur quoties est unitas in multiplicante 3 (per 31). Sed multiplicatus 2 est collectio unitatum (per artic. 3). Ergo quaevis unitas in multiplicato 2, toties ponitur quoties est unitas in multiplicante 3. Itaque quaevis unitas in multiplicato applicatur ad quamvis unitatem in multiplicante. Ergo vicissim quaevis unitas in multiplicante 3 applicatur ad quamvis unitatem in multiplicato 2. Sed 3 est itidem collectio unitatum, ergo applicatur ad quamvis unitatem in 2. Ergo vicissim 3 est multiplicatus, 2 multiplicans.
Itaque 2 • 3 = 3 • 2 seu ab = ba. Multiplicatio autem indicabitur indicando 2 per 3, vel 2 in 3, vel 2 • 3 vel a b, vel ab.
(33) Similiter si tria aut plura invicem multiplicentur idem prodit quicunque sit ordo. Eritque abc = acb. Nam bc = cb per praecedentem. Ergo abc = acb igitur 2 • 3 • 4 idem est quod 2 • 4 • 3 et utrobique prodit 24.
(34) Est et abc = ab,c seu ab per c aut a,bc quoniam nihil refert quis in producendo ordo multiplicandi servetur.
(35) Itaque et abc = ac,b. Nam abc = acb (per 33) et ach = ac,b per 34.
(35.2) Si aequalibus multiplicentur aequalia productae sunt aequalia. Sit a = b et l = m erit al = bm. Nam al = al (per artic. 10). Ergo in posteriore (si placet) al pro a substituendo aequale b et pro 1 substituendo aequale m (per artic. 8) profit al = bm.
(36) + 1, a seu 1a est = a seu unitas multiplicando nil mutat.
(37) Multiplicare per –1, idem est ut subtrahere, seu ponere subtractive seu – 1,a = – a.
(38) – a in + b = – ab, seu ut vulgo loquuntur plus in minus vel minus in plus dat minus. Nam – a = –1,a (per 37). Ergo – a in + b = – 1, a, b = –1,ab = (per 37) – ab.
(39) – abc = – c,ab aut – b,ac. Nam – abc = – 1, abc (per 37) = – 1,c,ab (per 35) = –c,ab (per 37).
(40) – a in – b = + ab seu ut vulgo loquuntur, minus in minus dat plus.
Nam a = –1,a (per 37). Ergo – a, – b = a, –1, – b sed – 1, –b=\overline{– b} (per 37) = + b (per 28). Ergo a, – l, – b = a,b. Ergo – a, – b = ab.
(40) Si numerus formula addendo vel subtrahendo composita designatus et numerus simpliciter designatus invicem sint multiplicandi oportet quodvis membrum formulae, et numerum simpliciter designatum invicem rnultiplicari. Sit e = f – b + a erit ce = cf – be + ac ut per se patet in numeris, si sit 5 = 6 – 3 + 2 erit 4 • 5 = 4 • 6 – 3 • 4 + 2 • 4, seu actu ipso singulas multiplicationes peragendo 20 = 24 – 12 + 8.
(41) Multiplicatio formulae dupliciter actu ipso, ut artic. 40, indicative seu compendio. Et quidem indicative adhibito vinculo, aliisve notis distinctionis. Ut c in f – a + b sic scribetur c vel c, f – a+ b vel c (f – a + b) .
[additio et substractio indicativa & effectiva Lex homogeneorum]
Sic et diversum et in numeris si 4 multiplicari debeat per 5 – 3 indicative, scribemus 4 \overline{5 -3} vel 4, 5 – 3 vel 4 (5 – 3). Alioqui si omitteremus notam distinctionis simpliciterque ad designandam multiplicationem c per e – b scriberemus c e – b facile accipi posset quasi esset ce – b longè aliud autem est c multiplicari per e – b, seu 4 multiplicari per 5 – 3 unde prodit 8 quàm fieri ce – b, seu c multiplicari per e, et a producto detrahi b ; vel 4.5 – 3, seu 4 multiplicari per 5, et a residuo detrahi 3, id enim daret 17.
(42) Si formula multiplicetur in formulam, productum erit summa omnium binionum possibilium binionum ex quovis membro unius formulae in quodvis alterius . Sit a + b + c , in , l + m + n
al+am+an ut patet operatione effectiva.
fit bm+bm+bn Et novem
cl+cm+cn biniones disponi possunt in quadratum
(43) Si tres formulae invicem multiplicentur productum erit summa omnium ternionum possibilium ex tribus membris invicem multiplicatis, quorum ex quavis formula sit unum. Sic a + b in l + m in s + t
als + alt + ams +amt
bls + blt +bms + bmt
Et octo terniones disponi possent in cubi bipedalis cubulos pedales 8. formulae quatuor multiplicandae possent invicem prodirent dicto modo omnes quarterniones, et ita porro.