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Translation of Cum prodiisset (>1702)
Quand mon Analyse infinitésimale, qui inclut le calcul des sommes et différences, a paru et s’est largement répandue, certains ont commencé à soulever d’anciens scrupules, semblables à ceux que les Sceptiques opposèrent jadis aux Dogmatiques, comme il apparait dans l’œuvre de [Sextus] Empiricus contre les Mathématiciens (c’est-à-dire les dogmatiques), et de Francisco Sanchez, auteur du livre Quod Nihil Scitur, envoyé à Clavius; et les objections des adversaires de Cavalieri, et deThomas Hobbes contre tous les Géomètres, et même récemment celles du très célèbre Detlev Cluver contre la quadrature de la parabole d’Archimède. Quand donc notre méthode des infinitésimaux, qui devint connue sous le nom de calcul des différences, commença à être diffusée, que ce soit dans quelques uns de mes propres essais, dans ceux des éminents frères Bernoulli, et surtout dans les élégants écrits de cet illustre homme français, le Marquis de l’Hospital ,récemment, un certain érudit mathématicien a semblé mettre en pièces cette méthode dans le Journal de Trévoux, en dissimulant son nom. Mais Bernard Nieuwentijt, certainement bien pourvu en savoir et intelligence, s’était déjà auparavant élevé contre moi en Hollande, en signant lui de son nom, mais qui avait préféré jusqu’à présent remettre en question nos [travaux] plutôt que les faire connaitre en les promouvant. Et alors que j’avais introduit les différences, non seulement premières, mais aussi secondes, troisièmes et au-delà, inassignables ou incomparables [inaccomparabiles] avec ces différences, il voulait, semble-t-il, se contenter des seules premières; sans considérer qu’il y a les mêmes difficultés dans les premières que dans les suivantes et que là où elles seraient surmontées dans les premières elles disparaitraient aussi dans les secondes. Sans parler de la façon dont le très savant homme, Hermann de Bâle, a montré à ce sujet, que ce n’est pas en réalité, mais en nom, que les différences suivantes ont été évitées par celui-là [scil.Nieuwentijt], mais aussi qu’il n’a pas réussi à démontrer la légitimité de l’utilisation des premières différences, ce qui, s’il l’avait prouvé, aurait procuré au moins quelque prix à son travail, et l’a contraint à verser dans des doctrines que nul d’admet, comme celle selon laquelle on obtiendrait un résultat different en multipliant 2 par m, qu’en multipliant m par 2; que ce dernier est impossible dans quelque cas où le premier est possible. De même, que le carré ou le cube d’une quantité serait une non quantité, c’est-à-dire un rien.
Il ya cependant quelque chose de tout à fait digne de louange, dans le fait qu’il désirait que le calcul infinitésimal soit renforcé par des démonstrations, afin de répondre aux scrupules, et cette tâche il l’aurait obtenue plus facilement de moi il y a déjà quelque temps, s’il n’apparaissait pas, par ses arguties dispersées en tout sens, d’un esprit bien étranger aux habitudes de ceux qui cherchent la verité plus que le renom et les applaudissements.
Maintes fois on m’a proposé de consolider les fondements de notre calcul par des démonstrations, et juste ci-dessous, j’ai indiqué d’ores et déjà les éléments pour un tel projet, afin que celui qui en a le loisir puisse s’emparer de cette tâche. Je n’ai cependant vu jusqu’à présent personne qui l’ait fait. En effet, ce que le très savant Hermann a commencé à faire dans l’écrit édité pour ma défense contre Mr. Nieuwentijt, n’est pas encore achevé.
Mais il y a pour moi,à côté du calcul Infinitésimal Mathématique, une méthode empruntée aux physiciens, que j’ai illustrée sur un exemple dans les Nouvelles de la République des Lettres; et les deux, je les comprends sous la Loi de continuité; grâce à laquelle j’ai montré que chacune des Règles du mouvement des très illustres philosophes Descartes et Malebranche se contredisaient.
Je pose donc le postulat suivant: Etant proposée une quelconque transition continue, finissant en quelque terme, il est permis d’établir un raisonnement commun dans lequel le terme ultime est inclus.
Par exemple, S’il y a deux [choses] A et B, l’une plus grande et l’autre plus petite, avec B demeurant [la même], on suppose que A est continûment diminuée, jusqu’à ce que deviennent égales A et B, alors il sera permis par un raisonnement commun que soient compris aussi bien le premier cas, où A était plus grand, que l’ultime cas où, la différence s’évanouissant, A et B deviennent égales. De même, si deux corps A et B se rencontrent, et qu’il est supposé que, le mouvement de B restant le même, et la vitesse de A diminuant continûment jusqu’à ce qu’elle s’évanouisse complètement, c’est-à-dire que la vitesse de A devienne nulle, il sera permis de comprendre ce cas avec le cas du mouvement de B dans un seul raisonnement.
Nous faisons de même en Géométrie lorsque sont prises deux lignes, menées comme vous voulez, l’une VA (Fig. 1) de position donnée, ou conservant toujours la même situation, l’autre BP passant par le point donné P, et variant sa situation alors que le point P reste fixe; et d’abord convergeant avec la ligne VA et la rencontrant au point C, ensuite, si l’angle d’inclination BCA diminue continûment, quand elle la rencontre au point plus éloigné (C) jusqu’à ce que finalement, de BP en passant par (B)P, elle atteigne b.P, où la ligne droite passant par P ne converge plus avec A, mais lui est parallèle, et le point C devient impossible ou imaginaire. Ceci étant posé, il sera permis de comprendre dans un seul raisonnement non seulement tous les cas intermédiaires comme (B), mais aussi l’ultimeb. Et de ceci il vient aussi que nous comprenons dans un même raisonnement les Ellipses et la parabole, puisque si A est considéré comme le foyer d’une ellipse (dont lesommet V est donné), lequel foyer reste fixe, et l’autre foyer C est variable quand on passe d’Ellipse en Ellipse, jusqu’à ce qu’enfin (dans le cas cas où la droite BP produit un foyer variable par son intersection avec la droite VA) ce foyer C s’évanouisse, c’est-à-dire devienne impossible, auquel cas l’ellipse s’évanouit dans une parabole. Il est ainsi permis par notre postulat de comprendre dans un seul raisonnement la parabole avec les Ellipses. Les Géomètres aussi ont l’habitude d’utiliser cette méthode dans les constructions, lorsqu’ils comprennentpar exemple divers cas dans une construction générale, en remarquent qu’en certains cas la droite concourante disparait dans une droite parallèle, l’angle d’une droite avec une autre droite s’évanouissant.
Mais de ce postulat naissent certaines locutions employées par commodité, qui semblent enfermer une absurdité, mais qui cesse une fois la signification substituée. C’est le cas quand on parle de point de concours imaginaire comme de quelque chose de réel, de même qu’il est d’usage en Algèbre que soient employées des racines imaginaires. À partir de là, en conservant l’analogie, nous disons que la droite BP, quand elle finit en parallèle à la droite VA, est convergente avec celle-ci, ou fait un angle avec elle, mais infiniment petit ; et de la même façon si l’on disait que le mouvement d’un corps quand il finit en repos, a une vitesse, mais infiniment petite ; et qu’une droite quand elle devient égale à une autre, lui soit inégale, mais avec une différence infiniment petite, et que la parabole est ultimement une Ellipse, qui a un foyer à une distance infinie au foyer donné le plus proche d’un sommet donné, ou encore dans laquelle le rapport de PA, à AC est infiniment petit, c’est-à-dire l’angle BCA.
Il est certes vrai que lorsque des choses sont absolument égales, elles ont une différence absolument nulle, et que lorsque des droites sont parallèles, elles ne se rencontrent jamais puisque leur distance est posée absolument égale partout ; et qu’une parabole n’est pas une ellipse, et ainsi de suite ; on peut cependant feindre cet état de transition (transitus), c’est-à-dire d’évanouissement, d’où n’est certes pas encore sortie l’égalité, ni le repos, ou le parallélisme, mais cependant dans lequel on y parvient ; [un état] qui est supposé si proche que la différence (discrimen) soit plus petite que tout assignable ; et dans cet état il restera toujours quelque différence, quelque vitesse, quelque angle, mais infiniment petits ; et la distance du point d’intersection, ou foyer variable, au foyer fixe sera infinie, et la parabole pourra être mise sous le nom d’Ellipse (de même que par un autre raisonnement sous le nom d’Hyperbole), puisque, les choses découvertes sur une telle parabole, par rapport à celles qui peuvent être affirmées d’une manière rigoureuse pour une parabole, ne font aucune différence assignable par quelque construction que ce soit.
Et il est certes crédible qu’Archimède, et celui qui semble l’avoir surpassé Conon, ont trouvé grâce à de telles notions leurs plus beaux théorèmes, dont ils sont venus à bout en les déduisant par des démonstrations par l’absurde au moyen desquelles ils rendaient leur certitude manifeste, mais en même temps cachaient leur art. Ainsi Descartes a noté élégamment en quelque endroit, qu’Archimède avait fait usage d’une sorte de Métaphysique en Géométrie (ce que Caramuel aurait appelé Metagéométrie) un art que bien peu d’anciens ont promu (à l’exception de ceux qui ont traité des Quadratrices) ; à notre époque Cavalieri a ressuscité la méthode archimédienne, et a donné à d’autres l’occasion d’aller plus loin. Et sans doute Descartes lui-même, lorsque quelque part il a feint que le cercle soit un polygone régulier d’une infinité de côtés, a usé du même raisonnement lorsqu’il a traité de la cycloïde ; et Huygens lui-même dans ses travaux sur le pendule, alors qu’il avait coutume de les confirmer par des démonstrations rigoureuses, a cependant néanmoins employé, pour éviter trop de prolixité, des infiniment petits ; ce que plus récemment l’excellent La Hire a fait également.
En même temps, si cet état de transition momentanée, de l’inégalité à l’égalité, du mouvement au repos, de la convergence au parallélisme, ou autres semblables, peut être soutenu en un sens rigoureux et métaphysique,c’est-à-dire si des extensions infinies les unes plus grandes que les autres ou des infiniment petits les uns plus petits que les autres, soient réels, je confesse que cela peut être révoqué en doute : mais celui qui voudrait en discuter tomberait dans des controverses métaphysiques sur la composition du continu, dont il nest pas nécessaire que la chose Géométrique dépende. Pour ma part, il est certain que l’on puisse de quelque façon concevoir une ligne non terminée et si elle n’est pas terminée d’un côté qu’il soit possible de lui adjoindre quelque chose terminé des deux côtés. Mais qu’une droite de ce type soit un tout, auquel on puisse s’y référer dans un calcul, c’est-à-dire si elle peut être placée parmi les quantités, auxquelles il est permis d’avoir recours dans l’estimation, c’est une autre question, qu’il n’est pas nécessaire de discuter ici.
Il suffira ainsi que, lorsque nous parlons d’infiniment grands (c’est-à-dire infinis au sens le plus strict) et d’infiniment petits (c’est-à-dire les plus infimes [infinitesima] des quantités remarquées de nous) de comprendre indéfiniment grande, et indéfiniment petite, c’est-à-dire aussi grande que l’on veut, et aussi petite que l’on veut ; De sorte que l’erreur que quelqu’un assigne soit inférieure à celle qu’il avait lui-même assignée. Et quand en général il apparait que d’une erreur, aussi petite qu’elle soit assignée, on peut montrer qu’elle doit être encore plus petite, il s’ensuit que l’erreur est absolument nulle. C’est une argumentation à peu près du genre de celle-ci qu’ont utilisée quelque part Euclide, Théodose et d’autres, auxquels cela a semblé merveilleux, mais dont on ne peut cependant nier que ce ne soit pas absolument vrai, à savoir que de cela même qu’une erreur est supposée, on infère que l’erreur est nulle. Et ainsi l’indéfiniment petit, ou l’indéfiniment grand est entendu comme aussi grand ou aussi petit que tu veux, ou comme s’il se comportait comme un certain genre, et non comme quelque chose d’ultime dans ce genre. Si quelqu’un le comprend comme une chose absolument ultime, ou du moins infinie en un sens rigoureux, il peut le faire, si toutefois il ne prend pas parti dans la controverse à propros de la réalité des choses étendues, ou de façon générale des continus, infinis ou infiniment petits, et même s’il pense, tout au contraire, de telles choses comme étant impossibles ; il suffira en effet de les employer utilement dans le calcul, comme les Algébristes emploient avec le plus grand fruit les racines imaginaires. Puisqu’elles contiennent un abrégé du raisonnement, qui est manifestement tenu pour être toujours rigoureusement vérifié par la Méthode déjà énoncée.
Mais il semble bon de montrer la chose un peu plus distinctement, afin que l’algorithme (comme on l’appelle) de notre calcul différentiel, proposé par moi en l’an 1684, soit entièrement approuvé comme tout à fait vrai.
Et d’abord quand il est dit qu’un élement de ces y est dy, le sens auquel il faut le prendre est compris au mieux en employant une droite quelconque AY en relation avec une droite AX prise comme Axe. (Fig. 2).
Que la courbe AY soit une parabole, et supposons que l’axe AX soit la tangente à la parabole au sommet A. Si AX est nommé x, AY est nommé y, et que a soit le côté droit, l’équation locale de la parabole sera xx=ay, ce que l’on obtient en chacun de ses points. Maintenant, que A1X soit x, et 1X1Y soit y, et que du point 1Y, en se dirigeant vers quelque ordonnée plus grande 2X2Y, soit abaissée la normale 1YD, et que 1X2X, qui est la différence entre A1X et A2X, soit nommée dx ; et de même D2Y, qui est la différence entre 1X1Y, et 2X2Y, soit nommée dy. Et puisque y=xx: a, on aura par la même loi y+dy=xx+2xdx+dxdx,: a et en soustrayant d’un côté y, de l’autre xx:a Il restera dy:dx=2x+dx:a, qui est la règle générale, exprimant le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses, c’est-à-dire qu’en menant la corde 1Y2Y jusqu’à ce qu’elle rencontre l’axe en T, on aura le rapport de cette ordonnée 1X1Y à T1X, la partie de l’axe comprise entre le point d’intersection et l’abscisse, sera comme 2x+dx à a : maintenant, puisque par notre postulat il est permis d’inclure aussi sous un seul raisonnement le cas où l’ordonnée 2X2Y déplacée de plus en plus à vers l’ordonnée qui ne bouge pas 1X1Y jusqu’à ce qu’elle tombe sur elle, il est évident que dans ce cas dx sera égal à rien, c’est-à-dire doit être retiré, au point qu’il est évident que, puisque dans ce cas T1Y est la tangente, 1X1Y est T1X comme 2x à a. D’où l’on comprend que dans tout notre calcul différentiel, il n’est point besoin que soient dites égales les choses qui ont une différence [discrimen] infiniment petite, mais qu’elles peuvent être prises comme des égales, (c’est-à-dire) qui ont une différence tout à fait nulle. Du moment que le calcul soit posé comme étant général, autant dans le cas où la différence est quelque chose, que dans celui où elle nulle ; et ce n’est que lorsque le calcul a été purgé autant qu’il est permis par des retraits autorisés et des rapports de quantités non évanouissantes, alors enfin seulement, lorsque l’application au dernier cas a été faite, la différence est posée comme nulle.
De même si on avait x^3=aay, il viendrait x^3+3xxdx+3xdxdx+dxdxdx=aay+aady, c’est-à-dire en retirant de chaque côté 3xxdx+3xdxdx+dxdxdx=aady, ou 3xx+3xdx+dxdx,:aa=dy:dx=1X1Y:T1X. D’où, quand la différence s’évanouit on aura 3xx est à aa comme 1X1Y est à T1X. Mais si nous voulions retenir dans le calcul dx, et dy afin qu’elles représentent des quantités non-évanouissantes même dans le cas ultime, qu’on prenne pour (dx), une droite assignable quelconque ; et que la droite qui serait à (dx) comme y – c’est-à-dire comme 1X1Y – est à 1XT, soit appelée (dy),ainsi dy et dx seront toujours assignables entre elles comme D2Y et D1Y, qui dans le cas utlime, s’évanouissent. D’où une erreur à corriger dans les Acta Eruditorum, d.l. p. 467, ligne 10, commise je ne sais comment, car au lieu de VB (ou WC ou YD ou ZE) il doit être posé XB (ou XC ou XD ou XE), représentant l’intervalle entre 1X et 2X qu’il lui soit égal, ou bien qu’il lui soit proportionnel dans un certain rapport constant.
Ceci posé, toutes les Règles de notre Algorithme proposées dans les Acta Eruditorum d’Octobre 1684, seront démontrées sans grand effort.
Que les courbes YY, VV, ZZ soient rapportées au même axe AXX (Fig. 3); et qu’aux abscisses A1X, (soit x) et A2X (soit x+dx) correspondent les ordonnées 1X1Y (soit y) and 2X2Y (soit y+dy) et de même, les ordonnées 1X1V (soit v) et 2X2V (soit v+dv), et 1X1Z (soit z) et 2X2Z (soit z+dz). Les cordes 1Y2Y, 1V2V,1Z2Z, étant menées, elles tombent respectivement en les points T, U and W. Soit prise arbitrairement la droite (d)x quelconque, demeurant fixe, le point 1X restant fixé et point 2X s’approchant à discrétion de lui, et soit (d)y une autre [droite] qui soit à (d)x comme y à 1XT, ou comme dy à dx; et de même soit que (d)v soit à (d)x comme v à 1XU, ou comme dv à dx, et soit (d)z à (d)x commez à 1XW, ou comme dz à dx, et (d)x, (d)y, (d)v, et (d)z seront toujours des droites ordinaires ou assignables.
Maintenant, addition et soustraction viendront ainsi : soit y–z=v , il viendra (d)y-(d)z=(d)v. Ce que je démontre ainsi : y+dy–z–dz=v+dv (si nous posons que y est croissant, z et v croîtront aussi; alors que pour les décroissantes, comme z, il faudra poser –dz au lieu de dz, ce que je note une fois pour toute); alors, en soustrayant les égaux y – z là et ici v, cela fera dy – dz = dv, et ainsi aussi dy–dz,:dx=dv:dx, mais dy:dx, dz:dx et dv:dx sont respectivement égaux à (d)y:(d)x, (d)z:(d)xet(d)v:(d)x. De même (d)z:(d)y ou (d)v:(d)y sont respectivement égaux à dz:dy ou dv:dy,il vient ainsi (d)y–(d)z,:(d)x=(d)v:(d)x. Et ainsi (d)y–(d)z=(d)v, ce qui était proposé, ou (d)v:(d)y=1–(d)z:(d)y. Cette règle d’addition et de soustraction découle aussi du postulat du calcul commun, quand 1X coincide avec 2X, ou quand 1YT, 1VQ, ou 1ZPsont tangents aux courbes YY,VV, and ZZ. Mais on peut se contenter des quantités assignables (d)y, (d)v, (d)z, (d)x, etc., puisqu’ainsi nous percevons tout le fruit de notre calcul, c’est-à-dire une constuction au moyen de quantités assignables ; il est cependant évident ici qu’on peut feindre de leur substituer les inassignables dx , dy, au moyen d’une fiction, même dans le cas où elles s’évanouissent, puisque dy:dx peut toujours se réduire à (d)y:(d)x, rapport entre quantités assignables c’est-à-dire indubitablement réelles. Et cela peut être fait même dans le cas des tangentes : dv:dy=1–dz:dy, ou dv=dy–dz.
Multiplication : Soit ay=xv, il viendra a(d)y=x(d)v+v(d)x. Démonstration : ay+ady=x+dx, v+dv=xv+xdv+vdx+dxdv, et , en soustrayant de chaque côté les égales : ay et xv, il viendra ady=xdv+vdx+dxdv soit : \frac{ady}{dx}=\frac{xdv}{dx}+v+dv et en transférant ceci à des droites qui ne s’évanouissent jamais, comme c’est permis, il viendra \frac{a(d)y}{(d)x}=\frac{x(d)v}{(d)x}+v+dv de sorte que le seul terme qui puisse s’évanouir reste dv, et,dans le cas des différences évanouissantes, puisque dv=0, il viendra [/latex]a(d)y=x(d)v+v(d)x[/latex] comme on l’avait soutenu, ou (d)y:(d)x=(x+v):a. D’où aussi, puisque toujours (d)y:(d)x=dy:dx, il sera permis ici de feindre que dans ce cas que s évanouissent dy, dx et de faire dy:dx=x+v ,:a, ou ady=xdv+vdx .
Division : Soit z:a=v:x, il viendra (d)z:a=v(d)x–x(d)v,:xx. Démonstration : z+dz ,[,sic] : a=v+dv, : , x+dx et en enlevant les fractions, xz+xdz+zdx+dzdx=av+adv et en soustrayant les égaux xz and av, et divisant le reste par dx, il viendra adv–xdz, : dx=z+dz, soit a(d)v–x(d)z, : (d)x=z+dz de sorte que la seule chose qui puisse s’évanouir reste dz. Et dans le cas de différences évanouissantes, c’est-à-dire quand 2X tombe en 1X, alors, de dz=0 il viendra a(d)v – x(d)z,:(d)x=z=av:x. D’où, comme il était proposé, (d)z=ax(d)v–av(d)x,: xx c’est-à dire (d)z:(d)x=(a:x)(d)v:(d)x–av:xx . Et puisque (d)z:(d)x est toujours ailleurs égal à dx:dx, il sera possible de le feindre aussi dans le cas des quantités évanouissantes dz, dv, dx,et de faire dz:dx=axdv – avdx, : xx.
Pour les élévations [à une puissance] soit l’équation a^{n-e}x^e=y^n. Nous aurons \frac{(d)y}{(d)x}=\frac{ex^{e-1}}{ny^{n–1}}. Ce que je vais démontrer ainsi de façon un peu plus développée que précédemment : a{n–e},\frac{1}{1}x^e+\frac{e}{1}x^{e–1}dx+\frac{e,e–1}{1,2}x^{e–2}dxdx+\frac{e,e–1,e–2}{1,2,3}x^{e–3}dxdxdx (et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on parvienne à e–e, c‘est-à-dire 0) ég. \frac{1}{1}y^n+\frac{n}{1}y^{n–1}dy+\frac{n,n–1}{1,2}y^{n–2}dydy+\frac{n,n–1,n–2}{1,2,3}y^{n–3}dydydy, (et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on parvienne à n–n c’est-à-dire 0) ; que l’on soustrait a^{n–e}x^{ev} soustrait d’un côté et yn de l’autre, puisqu’ils sont égaux, et que le reste soit divisé par dx, et ensuite à la place dy:dx rapportde deux quantités qui diminuent continûment, qu’on pose le rapport qui lui est égal (d)y:(d)x, c’est-à-dire le rapport entre deux quantités, dont l’une, (d)x, reste toujours égale à elle-durant la diminution des différences, c’est-à-dire pendant que le point 2X s’approche du point fixe 1X, et il viendra
Donc puisque (par le postulat) est aussi inclus danc cette règle générale le cas où les différences deviennent égales à rien, c’est-à-dire où les points 2X, 2Y coincident respectivement avec les points 1X, 1Y, c’est pour cela que en posant dans ce cas dx et dy = 0, il viendra \frac{e}{1}x^{e-1}=\frac{n}{1}y^{n-1}\frac{(d)y}{(d)x} les autres termes s’évanouissant, ou encore (d)y:(d)x=e x^{e–1}:ny^{n–1}, comme proposé. Mais aussi, comme nous l’avons expliqué, le rapport (d)y:(d)x est le même que y c’est-à-dire l’ordonnée 1X2Y à la sous-tangente 1XT, en posant que T1Y touche la courbe en 1Y.
Cette démonstration a sa place que les élévations soient des puissances ou des racines dont les exposants sont des fractions. Bien qu’il soit aussi permis d’enlever de l’équation les exposants fractionnaires en élevant à une puissance [exaltando] de part et d’autre, de sorte qu’alors e et n nesignifient rien d’autre que des puissances d’exposants rationnels, qui par la soustraction continue des nombres 1, 2, 3, etc, sont finalement épuisés, et qu’il ne soit pas alors besoin d’une série progressant à l’infini. Il sera permis du moinspar une fiction expliquée comme ci-dessus de revenir aussi à des inassignables dy et dx,en faisant toujours comme dans les autres cas, dans celui des différences évanouissantes le rapport de ces dy et dx évanouissantes est égal au rapport des non-évanouissantes (d)y et (d)x, puisque cette fiction peut toujours être réduite à une vérité indubitable.
Jusqu’ici, l’Algorithme est démontré pour les différences du premier degré, il faut donc montrer maintenant que la même méthode est aussi valable pour les différences de différences. À cette fin, que soient supposées trois ordonnées, 1X1Y, 2X2Y, 3X3Y. Parmi lesquelles 1X1Y reste constante mais 2X2Y et 3X3Y s’en approchent continûment jusqu’à coincider toutes deux avec elle en même temps, ce qui adviendra si la vitesse à laquelle 3X approche 1X est en raison de celle avec laquelle 2X approche 1X dans le rapport de 1X3X à 1X2X. Soient assignées deux droites, parmi celles-ci (d)x reste le même, quelle que soit la position de 2X, et 2(d)x toujours la même, quelle que soit la position de 3X, et que (d)y soit toujours à (d)x comme D2Y est à 1X2X, ou comme y (i.e. 1X1Y) est à 1XT, de sorte que, 2(d)y restant constant, (d)x sera modifié tandis que 2X approche 1X, et de même que 2(d)y soit à 2(d)x comme 2D3Y à 2X3X, ou encore comme y+dy (c’est-à-dire 2X2Y) est à 2X2T, de sorte que 2(d)y restant constant, 2(d)x est toujours changeant tandis que 3X s’approche de 1X. En outre, que soit toujours pris (d)y sur la droite variable 2X2Y,et soit2X1ω égal à (d)y, et de même soit 2(d)y pris sur la ligne variable3X3Y, et soit 3X2ω égalà 2(d)y. Ainsi, tandis que 2X et 3X s’approchent continûment de la droite 1X1Y, alors aussi 2X1ω et 3X2ω, s’en approchent continûment, et tombent en elle avec ces 2X et 3X. De plus,notons dans une ordonnée comme 1X1Y le point par lequel 1ω s’en approchant continuellement y tombe finalement, soit Ω, et 1XΩ sera l’ultime (d)y, qui est à la (d)x fixe comme l’ordonnée 1X1Y est à la sous-tangente 1XT, étant posé que T1Y touche la courbe YY en 1Y parce qu’alors évidemment 1Y et 2Y coincident.Et puisque ceci peut être obtenu où que soit supposé le point 1Y dans la courbe, il est clair que par ce moyen est obtenue une courbe ΩΩ qui est la differentiatrix de la courbe YY, tout comme YY est en retour la summatrix de la courbe ΩΩ, comme on peut le montrer aisément.
On démontre aussi par la même méthode le calcul pour les différences des différences. Soient trois ordonnées 1X1Y, 2X2Y, 3X3Y, dont les valeurs sont y, y + dy, and y + dy +ddy, et soient des distances quelconques 1X 2X, dx, 2X3X, dx + ddx, et donc les différences D2Y, dy et 2D3Y, dy + ddy. Maintenant la différence entre (d)y et 2(d)y, soit entre 1X1Ω et 2X2Ω, est d2Ω, et entre 1X 2X et 2X3X, la différence est ddx, et que (d)dx soit aussi à (d)x comme dx à 2(d)x ; et de même que (d)dy soit à (d)x comme 2Ωδ à 1X 2X, c’est-à-dire 1X1Ω à 1XT. Soit maintenant, par exemple, ay=xv, on aura, comme on l’a montré plus haut, ady=xdv+vdx+dxdv, et de même ady+addy=(x+dx)(dv+ddv)+(v+dv)(dx+ddx)+(dx+ddx)(dv+ddv) c’est-à-dire ady+addy=xdv+xddv+dxdv+dxddv+vdx+vddx+dv·dx+dvddx+dxdv+dxddv+ddxdv+ddxddv et en enlevant, ady d’un côté, et de l’autre xdv+vdx+dxdv, il restera de toutes façons \frac{ddy}{ddx}=\frac{xddv}{addx}+\frac{v}{a}+\frac{2dxdv}{addx}+\frac{2dv}{a}+\frac{2dxddv}{addx}+\frac{ddv}{a} où il est évident que le rapport entre ddy et ddx peut être exprimé par le rapport de la droite (d)dy à la droite (d)x, introduite ci-dessus, que nous avons supposée fixe lorsque 2X et 3X s’approchent de 1X. Et aussi donc (d)dx ne s’évanouit pas puisqu’elle a un rapport assignable à (d)x, de quelque manière que 2X s’approche de 1X c’est-à-dire de quelque manière que dx, la différence entre les abscisses, diminue donc, même si dx, et ddx et dv, et ddv sont posés égaux à 0. De la même façon, le rapport ddv : ddx pourra être exprimé par le rapport d’une droite assignable (d)dv à droite supposée constante (d)x ; et bien plus, le rapport de dvdx à addx sera exprimé ainsi. En effet, puisque dv:dx=(d)v:(d)x, il viendra dvdx:dxdx=(d)v:(d)x, seulement donc, si une nouvelle droite, (dd)x, est supposée telle que addx soit à dxdx comme (dd)x à (d)x, alors la nouvelle droite restera assignable, bien que dx, ddx, etc., s’évanouissent. Puisque donc dvdx:dxdx=(d)v:(d)x et dxdx:addx=(d)x:(dd)x, il viendra dvdx:addx=(d)v:(dd)x. De sorte qu’à la fin sera produite une équation purgée autant qu’il est possible de ces raisons qui peuvent s’évanouir
\frac{(d)dy}{(d)dx}=\frac{x(d)dv}{a(d)dx}+\frac{v}{a}+\frac{2(d)v}{(dd)x}+\frac{2dv}{a}+\frac{2(d)dvdx}{(d)dxa}+\frac{ddv}{a}Jusqu’à présent, toutes les droites utilisées sont assignables, du moment que 1X et 2X ne coincident pas; mais dans le cas de coincidence, dv et ddv deviendront = 0, de sorte que viendra l’équation
\frac{(d)dy}{(d)dx}=\frac{x(d)dv}{a(d))dx}+\frac{v}{a}+\frac{2(d)v}{(dd)x}+\frac{0}{a}+\frac{2(d)dv}{(d)dx}·\frac{0}{a}+\frac{0}{a}Ou \frac{(d)dy}{(d)dx}= (en omettant les termes où ils sont zéro) \frac{x(d)dv}{a(d)dx}+\frac{v}{a}+\frac{2(d)v}{(dd)x}
D’où, si nous supposons que dx, ddx, dv, ddv, dy, ddy, demeurent , par quelque fiction, même quand elles s’évanouissent, comme des quantités infiniment petites (parce que cela ne présenterait aucun danger puisque la chose peut toujours être raportée à des quantités assignables) il viendra dans le cas de concours des points 1X et 2X l’équation \frac{ddy}{ddx}=\frac{xddv}{addx}+\frac{v}{a}+\frac{2dxdv}{addx}.