Transcription of Cum prodiisset (>1702)
Cum prodiisset atque increbuisset Analysis mea infinitesimalis, quae calculum differentiarum et summarum complectitur, quidam scrupulos veteres movere coeperunt, quales Sceptici olim opposuere Dogmaticis, ut ex Empirici opere contra Mathematicos (id est dogmaticos) apparet, et Franciscus Sanchez autor libri quod nihil scitur, transmisit Clavio; et Cavallerio adversarii et Thomas Hobbes Geometris omnibus, nuperque etiam Archimedi in quadratura parabolae v. cl. Dethlevus Cluverius, objecere. Cum ergo Methodus nostra infinitesimalium, quae calculi differentiarum nomine innotuit[,] tum meis quibusdam speciminibus, tum egregiorum fratrum Bernoulliorum, inprimisque illustris ex Gallia viri Marchionis Hospitalii elegantibus scriptis celebrari coepisset; nuper quidam eruditus Mathematicus nomine dissimulato in Ephemeridibus literatis Trevoriensium, hanc methodum carpere visus est. Sed nominatim jam ante in me insurrexerat in Batavis Bernardus Nieuwentiit, a doctrina atque ingenio instructus sane, sed qui maluit hactenus retractando nostra, quam promovendo innotescere. Cumque ego introduxissem differentias non primas tantum, sed et secundas, et tertias aliasque ulteriores, inassignabiles seu ipsis differentibus inaccomparabiles[,] ipse primis contentus videri voluit; non considerans easdem esse difficultates in primis, et sequentibus, et ubi in ipsis primis
superentur, etiam in secundis cessare. Ut taceam quemadmodum doctissimus juvenis Hermannus Basileensis ostendit, nomine, non re evitatas ab illo differentias sequentes.sed et in ipsarum primarum usu legitimo demonstrando, quo praestito aliquod saltem operae suae pretium fecisset[,] successu caruit, coactus delabi in doctrinas a nemine admittendas; quale illud est quod aliud efficiatur multiplicando 2 per m, et quam multiplicando m per 2; posterius in aliquo casu esse impossibile, in quo possibile sit prius. Item quod quadratum aut cubus quantitatis sit non quantitas seu nihil.
Mihi aliquoties propositum fuit, demonstrationibus firmare calculi nostri fundamenta, et subinde jam tum indicavi fontes eo consilio, ut cui otium sit, occupare hanc operam possit. Nondum tamen vidi qui fecerit. Nam quod doctissimus Hermannus coepit agere in scripto contra Dn. Nieuwentiitium pro me edito, absolutum nondum est.
Est autem mihi praeter calculum Mathematicum Infinitesimalem usurpata etiam in physicis methodus, specimine olim illustrata in Novellis Reipublicae literariae; et utrumque complector Lege continuitatis ; qua adhibita ostendi clarissimorum philosophorum Cartesii et Malebranchii Regulas motus pugnare secum ipsis.
Assumo autem hoc postulatum: Proposito quocunque transitu continuo in aliquem Terminum desinet, liceat ratiocinationem communem instituere, qua ultimus terminus comprehendatur.
Exempli gr. si duo sint A et B, illud majus, hoc minus, et manente B, ponatur continue diminui A, donec aequalia fiant A et B, licebit ratiocinatione communi complecti tam casus priores, quibus A erat major[,] quam casum ultimum quo evanescente differentia A et B fiunt aequales. Similiter si duo corpora A et B sibi concurrant, ponaturque manente motu eodem ipsius B, continue imminui velocitatem ipsius A, donec ea omnino evanescat seu nulla fiat ipsius A celeritas, licebit casum hunc cum casu motus ipsius B una ratiocinatione complecti.
Idem facimus in Geometria, cum duae rectae adhibentur utcunque productae, una VA positione data, seu semper eodem situ manens, altera BP transiens per punctum datum P manenteque puncto P, varians situm, et primum quidem convergens ipsi rectae VA eique concurrens in puncto C, deinde si angulus inclinationis, ut BCA continue minuatur, concurrens eidem in puncto aliquo remotiore (C), donec tandem ex BP per (B)P perveniatur in P, ubi recta per P transiens non convergit amplius ipsi A, sed ei est parallela et impossibile seu imaginarium fit punctum C. His positis licebit una aliqua ratiocinatione complecti tum casus omnes intermedios ut (B) tum ultimum. Et hinc etiam fit, ut una ratiocinatione complectamur Ellipses et parabolam, veluti si consideretur A esse focum unum Ellipseos (cujus vertex V datus) qui focus maneat fixus, et alterum focum C esse mutabilem dum transitur de Ellipsi in Ellipsin, donec tandem (in casu quo recta BP intersectione cum recta VA focum variabilem faciens) ipse focus C evanescat, seu fiat impossibilis, quo casu Ellipsis in parabolam evanescit. Et ita licet ex nostro postulato parabolam una ratiocinatione cum Ellipsibus complecti. Hac methodo etiam Geometrae in constructionibus uti solent, cum scilicet diversos casus una constructione generali complectuntur, notando in certo casu convergentem rectam abire in parallelam angulo rectae ad aliam rectam evanescente.
Ex hoc autem postulato oriuntur quaedam locutiones commoditatis gratia adhibitae, quae videntur continere absurditatem, sed significatione substituta cessantem. Nempe si de puncto concursus imaginario tanquam de quodam reali loquamur, uti in Algebra recepta radices imaginariae adhibentur. Et hinc analogiam servando dicimus Rectam BP cum in parallelam rectae VA desinit, esse convergentem ad ipsam, sive cum ea angulum facere, sed infinite parvum, perinde ac si diceretur corpus motum cum in quietem desinit, velocitatem habere, sed infinite parvam; et rectam cum alteri aequalis fit inaequalem esse, sed differentia infinite parva ; et parabolam esse Ellipsin ultimam, quae focum habeat infinite distantem a foco dato vertici dato propiore; vel in qua ratio PA, ad AC sit infinite
parva, sive angulus BCA.
Equidem verum est, quae omnino aequalia sunt, ea differentiam habere omnino nullam, et quae parallelae sunt rectae, eas nunquam concurrere, cum distantia ponatur ubique omnino aequalis; et parabolam non esse Ellipsin, aliaque id genus; fingi tamen potest ipse status transitus, seu evanescentiae, quo nondum quidem orta est aequalitas, aut quies, aut parallelismus, sed tamen in quo ad eam transitur; qui tam prope assumtus sit, ut discrimen sit omni assignabili minus; et in hoc statu manebit aliquod discrimen, aliqua velocitas, aliquis angulus, sed infinite parva; et distantia puncti concursus seu foci mutabilis, a foco permanente erit infinita, et parabola poterit sub nomine Ellipsium (quemadmodum et alia ratione sub nomine Hyperbolarum) contineri, quoniam quae de tali parabola inveniuntur, ab iis quae de parabola rigorose dicta affirmari possunt, discrimen aliquod per constructionem aliquam assignabile non habent.
Et certe Archimedem et qui ei praeluxisse videtur Cononem ope talium notionum sua illa pulcherrima theoremata invenisse credibile est, quae demonstrationibus ad absurdum deducentibus evicere quibus simul et certitudinem manifestabant et artem occulebant. Unde eleganter alicubi notavit Cartesius, Archimedem velut Metaphysicam quandam exercuisse in Geometria (Caramuel Metageometriam appellaret) cujus artem vix quisquam veterum (demtis Quadratricum tractatoribus) promovit; nostro tempore Cavallerius Methodum Archimedeam resuscitavit, aliisque longius eundi occasionem dedit. Et sane ipse Cartesius, cum alicubi finxit circulum esse polygonum regulare infinitorum laterum, eaque ratiocinatione usus est, cum de Cycloide ageret; et Hugenius ipse in opere de pendulo, cum soleret sua confirmare rigorosis demonstrationibus, nonnunquam tamen vitandae nimiae
Interim an status ille transitionis momentanae, ab inaequalitate ad aequalitatem, a motu ad quietem, a convergentia ad parallelismum, vel similis in sensu rigoroso ac metaphysico sustineri queat, seu an extensiones infinitae aliae aliis majores aut infinite parvae aliae aliis minores, sint reales; fateor posse in dubium vocari: et qui haec discutere velit, delabi in controversias Metaphysicas de compositione continui, a quibus res Geometricas dependere non est necesse. Equidem illud certum est posse aliquo modo concipi lineam interminatam et ei si ab una parte interminata sit posse aliquid utrinque terminatum adjici. Sed an recta hujusmodi unum totum sit quale in computum referri potest, seu an possit collocari inter quantitates, quibus in aestimando uti liceat, alia quaestio est, quam hoc loco discutere non est necesse.
Suffecerit itaque cum infinite magna (seu strictius infinita) et infinite parva (seu notarum nobis quantitatum infinitesima) dicimus, intelligi indefinite magna, et indefinite parva, id est tam magna quam quis velit ; et tam parva quam quis velit, ut error quem aliquis assignat, sit minor quam quem ipse assignavit. Et cum generaliter appareat errore utcunque parvo assignato, ostendi posse adhuc minorem esse debere, sequitur errorem esse omnino nullum: Simili fere argumentandi genere cum eo quo alicubi utuntur Euclides, Theodosius, aliique, quod quibus mirificum visum est, tamen verissimum negari non potuit, ut nempe ex eo ipso quod error assumitur, infertur error esse nullus. Et ita indefinite parvum vel indefinite magnum, intelligitur utcunque magnum, vel utcunque parvum, ut ita se habeat veluti quoddam genus, non veluti aliquod ultimum in eo genere. Aut si omnino ultimum aliquod vel saltem rigorose infinitum quis intelligat, potest hoc facere, etsi controversiam de realitate extensorum aut generatim continuorum infinitorum aut infinite parvorum non decidat, imo etsi talia impossibilia putet; suffecerit enim in calculo utiliter adhiberi uti imaginarias radices magno fructu adhibent Algebristae. Cum compendium ratiocinandi contineant, quod per Methodum jam dictam semper rigorose verificari manifeste constat.
Sed placet rem paulo distinctius ostendere[,] ut calculi nostri differentialis Algorithmus (quem vocant) a me anno 1684 propositus, verissimus esse comprobetur.
Et primum quod dicitur Elementum ipsarum y esse dy, quo sensu intelligi debeat, optime intelligitur adhibita linea aliqua AY ad rectam AX tanquam Axem relata. (Fig. 2).
Curva AY sit parabola, et assumtus Axis AX sit tangens parabolae in vertice A. Si AX vocetur x, et AY vocetur y, et latus rectum sit a, erit aequatio localis ad parabolam xx=ay, quae in quovis ejus puncto obtinet. Jam A1X sit x, et 1X1Y sit y, et ex puncto 1Y in majorem aliquam ordinatam sequentem 2X2Y , demittatur normalis 1Y D, et 1X2X, quae est differentia inter A1X et A2X vocetur dx; et similiter D2Y quae est differentia inter 1X1Y , et 2X2Y vocetur dy. Et quia y=xx: a, erit pari jure y+dy=xx+2xdx+dxdx,: a et demendo ab una parte y, ab altera xx:a restabit dy:dx=2x+dx:a, quae est regula generalis, exprimens rationem differentiae ordinatarum ad differentiam abscissarum, seu producta chorda 1Y2Y donec axi occurrat in T, erit ratio ipsius ordinatae 1X2Y ad T1X interceptam axis partem inter occursum et abscissam, ut 2x+dx ad a : jam quia ex postulato nostro licet una ratiocinatione complecti tum casum quo ordinata 2X2Y, magis magisque admota ad permanentem 1X1Y tandem in ipsam incidit, patet hoc casu fore dx aequalem nihilo, seu abjici debere, adeoque patet cum eo casu T1Y sit tangens, 1X1Y ad T1X ut 2x ad a. Hinc intelligitur in omni nostro calculo differentiali non esse opus ut dicantur aequalia quae discrimen habent infinite parvum, sed aequalia posse sumi, quae discrimen habent omnino nullum. Modo calculus ponatur fieri generalis, tam pro casu quo discrimen est aliquod, quam quo nullum; et non nisi calculo per abjectiones permissas et rationes quantitatum non evanidarum quantum licet purgato, postremo demum, ubi applicatio ad casum ultimum facienda est, differentia nulla ponatur.
Similiter si fuisse x^3=aay, fieret x^3+3xxdx+3xdxdx+dxdxdx=aay+aady, seu abjectis utrinque 3xxdx+3xdxdx+dxdxdx=aady, vel 3xx+3xdx+dxdx,:aa=dy:dx=1X1Y:T1X. unde cum differentia evanescit fit 3xx ad aa ut 1X1Y ad T1X. Quodsi velimus in calculo retinere dx, et dy, ita ut significent quantitates non evanescentes etiam in ultimo casu, assumatur pro (dx), recta quaecunque assignabilis; et recta quae sit ad (dx) ut y seu 1X1Y est ad 1XT, vocetur (dy) ita dy et dx semper assignabiles erunt inter se ut D2Y et D1Y, quae in ultimo casu evanescunt. Ubi corrigendus est error in Actis Eruditorum d. l. pag. 467 lin. 10. nescio quomodo commissus, nam pro V B (vel WC vel Y D vel ZE) poni debet XB (vel XC vel XD vel XE) repraesentas intervallum inter 1X et 2X sive ipsi intervallo huic aequetur, sive ei sit proportionale in ratione quadam constante.
His positis omnes Regulae nostri Algorithmi in Actis Eruditorum mense Octobri anni 1684 propositae non magno negotio demonstrabuntur.
Ad eundem Axem AXX, referantur curvae Y Y , V V , ZZ; et abscissis A1X (nempe x) et A2X, (nempe x+dx) respondeant ordinatae 1X1Y (seu y) et 2X2Y (seu y+dy) item ordinatae 1X1V (seu v) et 2X2V (seu v+dv), item odinatae 1X1Z (seu z) et 2X2Z (seu z+dz). Chordae 1Y2Y , 1V2V , 1Z2Z productae occurrant respective in punctis T, U, W. Assumatur pro arbitrio recta quaecunque d(x), manente puncto 1X, et puncto 2X ipsi utcunque accedente, semper permanens et fiat alia (d)y, quae sit ad ipsam (d)x, ut y ad 1XT seu ut dy ad dx; similiterque (d)v quae sit ad (d)x ut v ad 1XW seu ut dv ad dx; et (d)z quae sit ad d(x) ut z ad 1Xt seu ut dz ad dx eruntque semper (d)x, (d)y, (d)v, (d)z rectae ordinariae seu assignabiles.
Nunc a d d i t i o e t s u b t r a c t i o ita fiet: Sit y–z=v , fiet (d)y-(d)z=(d)v. quod sic demonstro: y+dy–z–dz=v+dv (si ponamus crescente y crescere etiam z et v alioqui in decrescentibus, ut z, pro dz poni deberet -dz, quod semel noto). Ergo abjiciendo aequalia, illinc y – z hinc v, fiet dy – dz = dv, adeoque et dy–dz,:dx=dv:dx, sed dy:dx, dz:dx et dv:dx aequantur respective ipsis (d)y:(d)x, (d)z:(d)xet(d)v:(d)x. Similiter (d)z:(d)y aut (d)v:(d)y aequantur respective ipsis dz:dy aut dv:dy, ergo fiet (d)y–(d)z,:(d)x=(d)v:(d)x adeoque (d)y–(d)z=(d)v, quo proponebatur seu (d)v:(d)y=1–(d)z:(d)y. Quae regula additionis vel subtractionis succedit etiam ex postulato calculi communis, cum 1X coincidit ipsi 2X, seu cum 1YT et 1VW et 1Zt sunt tangentes curvarum Y Y, V V , ZZ. Licet autem quantitatibus assignabilibus (d)y, (d)v, (d)z, (d)x etc. possimusm esse contenti, cum ita fructum omnem calculi nostri percipiamus, nempe constructionem per quantitates assignabiles, patet tamen hinc fingendo saltem pro illis posse substitui
inassignabiles dx, dy per modum fictionis etiam in casu quo evanescunt, quia dy : dx reduci potest semper ad (d)y : (d)x rationem inter quantitates assignabiles seu indubitate reales. Adeoque etiam fieri potest in casu tangentium dv:dy=1–dz:dy, seu dv=dy–dz.
Multiplicatio : Sit latex]ay=xv[/latex], fiet [/latex]a(d)y=x(d)v+v(d)x. Demonstratio: ay+ady=x+dx, v+dv=xv+xdv+vdx+dxdv, et abjiciendo utrinque aequalia ay et xv, fiet ady=xdv+vdx+dxdv seu \frac{ady}{dx}=\frac{xdv}{dx}+v+dv et transferendo rem ad rectas nunqua evanescentes qua licet, fiet \frac{a(d)y}{(d)x}=\frac{x(d)v}{(d)x}+v+dv ut sola quae evanescere possit, supersit dv, et in casu differentiarum evanescentium, quia dv=0, fiet [/latex]a(d)y=x(d)v+v(d)x[/latex] ut asserebatur, vel (d)y:(d)x=(x+v):a. Unde etiam quia (d)y:(d)x=dy:dx, licebit hoc fingere in casu dy, dx evanescentium et facere dy:dx=x+v ,:a, seu ady=xdv+vdx .
Divisio : Sit z:a=v:x, fiet (d)z:a=v(d)x–x(d)v,:xx. Demonstratio : z+dz ,[,sic] : a=v+dv, : , x+dx et sublatis fractionibus, xz+xdz+zdx+dzdx=av+adv et utrinque auferendo aequalia xz et av, dividendoque residuum per dx, fiet adv–xdz, : dx=z+dz, seu a(d)v–x(d)z, : (d)x=z+dz ita sola quae evanescere possit superest dz. Et in casu differentiarum evanescentium, seu cum 2X incidit in1X, tunc ob dz=0 fiet a(d)v – x(d)z,:(d)x=z=av:x unde (ut proponebatur) (d)z=ax(d)v–av(d)x,: xx seu (d)z:(d)x=(a:x)(d)v:(d)x–av:xx . Et quia semper alias (d)z:(d)x=dz:dx, licebit hoc etiam fingere in casu evanescentium dz, dv, dx, et facere dz:dx=axdv – avdx, : xx.
Pro dignitatibus sit aequatio a^{n-e}x^e=y^n. Fiet \frac{(d)y}{(d)x}=\frac{ex^{e-1}}{ny^{n–1}}. Quod sica paulo fusius quam priora demonstrabo: a{n–e},\frac{1}{1}x^e+\frac{e}{1}x^{e–1}dx+\frac{e,e–1}{1,2}x^{e–2}dxdx+\frac{e,e–1,e–2}{1,2,3}x^{e–3}dxdxdx (et ita porro, donec proveniatur usque ad e–e, seu 0) aequ. \frac{1}{1}y^n+\frac{n}{1}y^{n–1}dy+\frac{n,n–1}{1,2}y^{n–2}dydy+\frac{n,n–1,n–2}{1,2,3}y^{n–3}dydydy, (et ita porro donec perveniatur usque ad n–n seu 0) auferatur ab una parte a^{n–e}x^{ev} ab altera yn cum sint aequalia, residuum dividatur per dx, et deinde pro dy : dx ratione inter duas quantitates quae continue imminuantur, ponatur aequalis ei ratio (d)y : (d)x seu ratio inter duas quantitates, quarum una (d)x semper eadem permanet, durante imminutione differentiarum seu accessu ipsius 2X ad permanens punctum 1X, fietque
Cum ergo (per postulatum) in hac regula generali comprehendatur et casus quo differentiae fiunt nihilo aequales, seu quo puncta 2X, 2Y coincidunt respective ipsis 1X, 1Y , ideo eo casu ponendo dx et dy = 0, fiet \frac{e}{1}x^{e-1}=\frac{n}{1}y^{n-1}\frac{(d)y}{(d)x} caeteris evanescentibus, seu (d)y:(d)x=e x^{e–1}:ny^{n–1}, ut ponebatur. Est autem ut explicuimus, ratio (d)y:(d)x eadem quae y seu 1X2Y ordinatae ad 1XT subtangentialem, posito T1Y curvam tangere in 1Y.
Haec demonstratio locum habet sive dignitates sint potentiae, sive sint radices quarum exponentes sunt fracti. Quanquam etiam liceat ex aequatione tollere exponentes fractos, utrinque exaltando, ut adeo e et n tunc non significent nisi potentias exponentium rationalium, qui continua subtractione numerorum 1, 2, 3, etc. tandem exhauriuntur, ne opus sit serie progrediente in infinitum. Licebit autem saltem per fictionem modo supra explicato etiam redire ad inassignabiles nempe dy et dx, faciendo ut semper alias ita et in differentiarum evanescentium casu rationem ipsarum dy, dx evanescentium aequalem, casui ipsarum (d)y, (d)x non evanescentium, quia haec fictio semper ad veritatem indubitabilem reduci potest.
Hactenus demonstratus est Algorithmus differentiarum primi gradus, nunc ostendendum est, eandem methodum valere et pro differentiis differentiarum. Eum in finem assumantur tres ordinatae 1X1Y, 2X2Y, 3X3Y. Ex quibus ipsa 1X1Y permaneat eadem, sed 2X2Y et 3X3Y continue ad eam accedant, donec ambae simul in eam incidant, quod fiet si celeritas qua 3X accedit ad 1X sit ad rationem qua 2X accedit ad 1X in ratione 1X3X ad 1X2X. Assignentur duae rectae, (d)x semper eadem pro quocunque situ ipsius 2X, et 2(d)x semper eadem pro quocunque situ ipsius 3X, semperque fiat (d)y ad (d)x ut D2Y ad 1X2X seu ut y (id est 1X1Y) ad 1XT, adeoque (d)y manente (d)x semper mutabitur dum 2X accedit ad 1X, et similiter fiat 2(d)y ad 2(d)x ut 2D3Y ad 2X3X seu ut y+dy (id est 2X2Y) ad 2X2T adeoque 2(d)y manente 2(d)x semper mutabitur dum 3X accedit ad 1X. Sumatur autem semper (d)y in ipsa recta variante 2X2Y et sit 2X1ω aequalis ipsi (d)y, et similiter sumatur 2(d)y in ipsa recta variante 3X3Y, et sit 3X2ω aequalis ipsi 2(d)y. Ita dum 2X et 3X continue accedunt ad rectam 1X1Y, etiam 2X1ω et 3X2ω, continue ad eam accedent, et cum ipsis 2X, 3X in eam incident. Porro in ordinata ut1X1Y notetur punctum quo 1ω continue accedens in ipsam incidit, quod sit Ω, et erit 1XΩ ipsa ultima (d)y, quae est ad (d)x permanentem, ut ordinata 1X1Y ad subtangentialem 1XT, posito T1Y curvam Y Y tangere in 1Y quia nempe tunc 1Y et 2Y coincidunt. Cumque id fieri possit, ubicunque in curva assumatur punctum 1Y, patet prodituram hoc modo haberi curvam ΩΩ quae est differentiatrix curvae YY, uti vicissim curva YY est summatrix curvae ΩΩ, ut facile ostendi potest.
Eadem methodo demonstratur et calculus pro differentiis differentiarum. Sint tres ordinatae 1X1Y, 2X2Y, 3X3Y, quarum valores y, y + dy, et y + dy +ddy, et distantiae quaecunque 1X 2X, dx, 2X3X, dx + ddx, differentiae vero D2Y, dy et 2D3Y, dy + ddy. Jam inter (d)y et 2(d)y, seu inter 1X1Ω et 2X2Ω, differentia est d2Ω, et inter 1X 2X et 2X3X differentia est ddx, et fiat (d)dx ad (d)x ut dx ad 2(d)x ; similiterque (d)dy ad (d)x ut 2Ωδ ad 1X2X seu 1X1Ω ad 1XT. Sit jam exempli causa ay=xv, fiet ady=xdv+vdx+dxdv per supra ostensa, et similiter ady+addy=(x+dx)(dv+ddv)+(v+dv)(dx+ddx)+(dx+ddx)(dv+ddv) seu ady+addy=xdv+xddv+dxdv+dxddv+vdx+vddx+dv·dx+dvddx+dxdv+dxddv+ddxdv+ddxddv et tollendo ab una parte ady ab altera xdv+vdx+dxdv, restabit utique \frac{ddy}{ddx}=\frac{xddv}{addx}+\frac{v}{a}+\frac{2dxdv}{addx}+\frac{2dv}{a}+\frac{2dxddv}{addx}+\frac{ddv}{a} ubi patet rationem inter ddy et ddx posse exprimi ratione rectae (d)dy ad assumtam supra rectam (d)x, quam supposuimus permanere, dum 2X et 3X accedunt ad 1X. Itaque etiam (d)dx, cum rationem assignabilem habeat ad (d)x, utcunque 2X accedat ad 1X seu utcunque dx differentia abscissarum diminuatur, non evanescat, etsi demum dx, et ddx, et dv, et ddv ponantur aequales nihilo. Eodem modo ratio ddv : ddx poterit exprimi ratione rectae assignabilis (d)dv ad assumtam permanentem (d)x; imo et ratio dvdx ad addx sic exprimetur. Nam quia dv:dx=(d)v:(d)x, fiet dvdx:dxdx=(d)v:(d)x, tantum ergo assumatur nova recta (dd)x talis, ut sit addx ad dxdx uti (dd)x ad (d)x, ita recta nova (dd)x manebit assignabilis, etsi dx, ddx, etc. evanescant. Cum ergo sit dvdx:dxdx=(d)v:(d)x et dxdx:addx=(d)x:(dd)x fiet dvdx:addx=(d)v:(dd)x. Ita tandem prodibit aequatio ab iis rationibus quae evanescere possunt, quantum licet purgata,
\frac{(d)dy}{(d)dx}=\frac{x(d)dv}{a(d)dx}+\frac{v}{a}+\frac{2(d)v}{(dd)x}+\frac{2dv}{a}+\frac{2(d)dvdx}{(d)dxa}+\frac{ddv}{a}Et hactenus omnes rectae adhibitae sunt assignabiles, quamdiu 1X et 2X non coincidunt, sed in casu coincidentiae, fiunt dv et ddv = 0, adeoque prodibit aequatio
\frac{(d)dy}{(d)dx}=\frac{x(d)dv}{a(d))dx}+\frac{v}{a}+\frac{2(d)v}{(dd)x}+\frac{0}{a}+\frac{2(d)dv}{(d)dx}·\frac{0}{a}+\frac{0}{a} vel \frac{(d)dy}{(d)dx}= (abjectis terminis ubi 0) \frac{x(d)dv}{a(d)dx}+\frac{v}{a}+\frac{2(d)v}{(dd)x}
Unde si dx, ddx, dv, ddv, dy, ddy fictione quadam manere ponamus, etiam cum evanescunt, tanquam quantitates infinite parvas (quia id nullo fit periculo, cum semper res ad assignabiles quantitates possit revocari) prodibit in casu concurrentium punctorum 1X et 2X, aequatio \frac{ddy}{ddx}=\frac{xddv}{addx}+\frac{v}{a}+\frac{2dxdv}{addx}.